En un "sistema de ecuaciones", se le pide que resuelva dos o más ecuaciones simultáneamente. Cuando las dos ecuaciones tienen dos variables diferentes, por ejemplo xey, la solución puede parecer difícil al principio. Afortunadamente, una vez que sepa lo que debe hacer, simplemente puede usar sus habilidades algebraicas (y la ciencia de calcular fracciones) para resolver el problema. También aprenda a dibujar estas dos ecuaciones si es un aprendiz visual o el maestro lo requiere. Los dibujos le ayudarán a identificar el tema o comprobar los resultados de su trabajo. Sin embargo, este método es más lento que los otros métodos y no se puede utilizar para todos los sistemas de ecuaciones.
Paso
Método 1 de 3: uso del método de sustitución
Paso 1. Mueva las variables al lado opuesto de la ecuación
El método de sustitución comienza "encontrando el valor de x" (o cualquier otra variable) en una de las ecuaciones. Por ejemplo, digamos que la ecuación del problema es 4x + 2y = 8 y 5x + 3y = 9. Empiece por trabajar en la primera ecuación. Reordena la ecuación restando 2y en ambos lados. Por lo tanto, obtienes 4x = 8 - 2 años.
Este método suele utilizar fracciones al final. Si no le gusta contar fracciones, pruebe el método de eliminación a continuación
Paso 2. Divida ambos lados de la ecuación para "encontrar el valor de x"
Una vez que el término x (o cualquier variable que esté usando) esté solo en un lado de la ecuación, divida ambos lados de la ecuación por los coeficientes para que solo quede la variable. Como ejemplo:
- 4x = 8 - 2 años
- (4x) / 4 = (8/4) - (2 años / 4)
- x = 2 - y
Paso 3. Inserte el valor x de la primera ecuación en la segunda ecuación
Asegúrate de insertarlo en la segunda ecuación, en lugar de en la que acabas de trabajar. Sustituye (reemplaza) la variable x en la segunda ecuación. Por lo tanto, la segunda ecuación ahora tiene solo una variable. Como ejemplo:
- Es conocida x = 2 - y.
- Tu segunda ecuación es 5x + 3y = 9.
- Después de intercambiar la variable x en la segunda ecuación con el valor x de la primera ecuación, obtenemos "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Paso 4. Resuelve las variables restantes
Ahora, tu ecuación tiene solo una variable. Calcula la ecuación con operaciones algebraicas ordinarias para encontrar el valor de la variable. Si las dos variables se cancelan entre sí, salte directamente al último paso. De lo contrario, obtendrá un valor para una de las variables:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Si no comprende este paso, aprenda a sumar fracciones).
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Paso 5. Usa la respuesta obtenida para encontrar el verdadero valor de x en la primera ecuación
No se detenga todavía porque sus cálculos aún no han terminado. Debe insertar la respuesta obtenida en la primera ecuación para encontrar el valor de las variables restantes:
- Es conocida y = -2
- Una de las ecuaciones de la primera ecuación es 4x + 2y = 8. (Puede usar cualquiera de los dos).
- Reemplaza la variable y con -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Paso 6. Sepa qué hacer si las dos variables se anulan entre sí
Cuando usted entre x = 3y + 2 o una respuesta similar a la segunda ecuación, lo que significa que está tratando de obtener una ecuación que tenga solo una variable. A veces, solo obtienes la ecuación sin variable. Verifique su trabajo y asegúrese de haber puesto (reordenado) la ecuación uno en la ecuación dos, en lugar de volver a la primera ecuación. Cuando esté seguro de que no ha hecho nada malo, escriba uno de los siguientes resultados:
- Si la ecuación no tiene variables y no es verdadera (por ejemplo, 3 = 5), este problema no tengo respuesta. (Cuando se grafica esto, estas dos ecuaciones son paralelas y nunca se encuentran).
- Si la ecuación no tiene variables y Correcto, (por ejemplo, 3 = 3), lo que significa que la pregunta tiene respuestas ilimitadas. La ecuación uno es exactamente igual que la ecuación dos. (Cuando se grafican, estas dos ecuaciones son la misma línea).
Método 2 de 3: uso del método de eliminación
Paso 1. Encuentre las variables mutuamente excluyentes
A veces, la ecuación del problema ya es cancelar el uno al otro cuando se suman. Por ejemplo, si haces la ecuación 3x + 2y = 11 y 5x - 2y = 13, los términos "+ 2y" y "-2y" se cancelarán entre sí y eliminarán la variable "y" de la ecuación. Mire la ecuación en el problema y vea si hay variables que se cancelen entre sí, como en el ejemplo. Si no, continua al siguiente paso.
Paso 2. Multiplica la ecuación por uno para eliminar una variable
(Omita este paso si las variables ya se cancelan entre sí). Si la ecuación no tiene variables que se cancelen por sí solas, cambie una de las ecuaciones para que puedan cancelarse entre sí. Eche un vistazo a los siguientes ejemplos para que pueda comprenderlos fácilmente:
- Las ecuaciones del problema son 3x - y = 3 y - x + 2y = 4.
- Cambiemos la primera ecuación para que la variable y se anulan entre sí. (Puede usar la variable X. La respuesta final obtenida será la misma.)
- Variable - y en la primera ecuación debe ser eliminado por + 2 años en la segunda ecuación. Como multiplicar - y con 2.
- Multiplica ambos lados de la ecuación por 2, como sigue: 2 (3x - y) = 2 (3), asi que 6x - 2y = 6. Ahora, tribu - 2 años se cancelarán entre sí con + 2 años en la segunda ecuación.
Paso 3. Combina las dos ecuaciones
El truco consiste en sumar el lado derecho de la primera ecuación al lado derecho de la segunda ecuación y sumar el lado izquierdo de la primera ecuación al lado izquierdo de la segunda ecuación. Si se hace correctamente, una de las variables se cancelará entre sí. Intentemos continuar con el cálculo del ejemplo anterior:
- Tus dos ecuaciones son 6x - 2y = 6 y - x + 2y = 4.
- Sume los lados izquierdos de las dos ecuaciones: 6x - 2y - x + 2y =?
- Sume los lados derechos de las dos ecuaciones: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Paso 4. Obtenga el último valor de la variable
Simplifique su ecuación compuesta y trabaje con álgebra estándar para obtener el valor de la última variable. Si, después de simplificar, la ecuación no tiene variables, continúe con el último paso de esta sección.
De lo contrario, obtendrá un valor para una de las variables. Como ejemplo:
- Es conocida 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Variables de grupo X y y juntos: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Simplifica la ecuación: 5 veces = 10
- Encuentra el valor de x: (5x) / 5 = 10/5, para obtener x = 2.
Paso 5. Encuentra el valor de otra variable
Ha encontrado el valor de una variable, pero ¿qué pasa con la otra? Inserta tu respuesta en una de las ecuaciones para encontrar el valor de la variable restante. Como ejemplo:
- Es conocida x = 2, y una de las ecuaciones del problema es 3x - y = 3.
- Reemplaza la variable x con 2: 3 (2) - y = 3.
- Encuentra el valor de y en la ecuación: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, asi que 6 = 3 + y
- 3 = y
Paso 6. Sepa qué hacer cuando las dos variables se anulan entre sí
A veces, la combinación de dos ecuaciones da como resultado una ecuación que no tiene sentido o que no te ayuda a resolver el problema. Revise su trabajo y, si está seguro de que no hizo nada malo, escriba una de las siguientes dos respuestas:
- Si la ecuación combinada no tiene variables y no es verdadera (por ejemplo, 2 = 7), este problema no tengo respuesta. Esta respuesta se aplica a ambas ecuaciones. (Cuando se grafica esto, estas dos ecuaciones son paralelas y nunca se encuentran).
- Si la ecuación combinada no tiene variables y Correcto, (por ejemplo, 0 = 0), lo que significa que la pregunta tiene respuestas ilimitadas. Estas dos ecuaciones son idénticas entre sí. (Cuando se grafican, estas dos ecuaciones son la misma línea).
Método 3 de 3: Dibujar una gráfica de ecuaciones
Paso 1. Realice este método sólo cuando se le indique
A menos que esté usando una computadora o una calculadora gráfica, este método solo puede proporcionar respuestas aproximadas. Es posible que su maestro o libro de texto le diga que use este método para acostumbrarse a dibujar ecuaciones como líneas. Este método también se puede utilizar para verificar la respuesta a uno de los métodos anteriores.
La idea principal es que necesitas describir las dos ecuaciones y encontrar su punto de intersección. El valor de xey en este punto de intersección es la respuesta al problema
Paso 2. Encuentra los valores de y de ambas ecuaciones
No combine las dos ecuaciones y cambie cada ecuación para que el formato sea "y = _x + _". Como ejemplo:
- Tu primera ecuación es 2x + y = 5. Cambiar a y = -2x + 5.
- Tu primera ecuación es - 3x + 6y = 0. Cambiar a 6y = 3x + 0y simplificar a y = x + 0.
- Si sus dos ecuaciones son exactamente iguales, la línea completa es la "intersección" de las dos ecuaciones. Escribir respuestas ilimitadas como respuesta.
Paso 3. Dibuja los ejes de coordenadas
Dibuja una línea vertical del “eje y” y una línea horizontal del “eje x” en el papel cuadriculado. Comenzando en el punto donde los dos ejes se cruzan (0, 0), escriba las etiquetas numéricas 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente apuntando hacia arriba en el eje y, y apuntando hacia la derecha en el eje x. Después de eso, escriba las etiquetas numéricas -1, -2, y así sucesivamente apuntando hacia abajo en el eje y, y apuntando hacia la izquierda en el eje x.
- Si no tiene papel cuadriculado, use una regla para asegurarse de que el espacio entre cada número sea exactamente el mismo.
- Si está usando números grandes o decimales, le recomendamos escalar su gráfico (por ejemplo, 10, 20, 30 o 0, 1, 0, 2, 0, 3 en lugar de 1, 2, 3).
Paso 4. Dibuja el punto de intersección con el eje y para cada ecuación
Si la ecuación tiene la forma y = _x + _, puede comenzar a dibujar un gráfico haciendo el punto donde la línea de la ecuación se cruza con el eje y. El valor de y es siempre el mismo que el último número de la ecuación.
-
Continuando con el ejemplo anterior, la primera línea (y = -2x + 5) intersecta el eje y en
Paso 5.. segunda linea (y = x + 0) intersecta el eje y en 0. (Estos puntos se escriben como (0, 5) y (0, 0) en el gráfico).
- Si es posible, dibuje la primera y la segunda línea con bolígrafos o lápices de diferentes colores.
Paso 5. Usa la pendiente para continuar la línea
En formato de ecuación y = _x + _, el número delante de la x indica el "nivel de pendiente" de la línea. Cada vez que x se incrementa en uno, el valor de y aumentará en el número de niveles de pendiente. Usa esta información para encontrar los puntos para cada línea en la gráfica cuando x = 1. (También puedes ingresar x = 1 en cada ecuación y encontrar el valor de y).
- Continuando con el ejemplo anterior, la línea y = -2x + 5 tiene una pendiente de - 2. En el punto x = 1, la línea se mueve abajo por 2 desde el punto x = 0. Dibuja una línea que conecte (0, 5) con (1, 3).
- Línea y = x + 0 tiene una pendiente de ½. En x = 1, la línea se mueve paseo desde el punto x = 0. Dibuja una línea que conecte (0, 0) con (1,).
- Si dos rectas tienen la misma pendiente, los dos nunca se cruzarán. Por tanto, este sistema de ecuaciones no tiene respuesta. Escribir sin respuesta como respuesta.
Paso 6. Continúe conectando las líneas hasta que las dos líneas se crucen
Deje de trabajar y eche un vistazo a su gráfico. si las dos líneas se han cruzado, continúe con el siguiente paso. Si no es así, tome una decisión basada en la posición de sus dos líneas:
- Si las dos líneas se acercan, continúa conectando los puntos de tus rayas.
- Si las dos líneas se alejan una de la otra, regrese y conecte los puntos en direcciones opuestas, comenzando en x = 1.
- Si las dos líneas están muy separadas, intente saltar y conectar los puntos más alejados, por ejemplo, x = 10.
Paso 7. Encuentra la respuesta en el punto de intersección
Después de que las dos líneas se cruzan, el valor de xey en ese punto es la respuesta a su problema. Si tiene suerte, la respuesta será un número entero. Por ejemplo, en nuestro ejemplo, las dos líneas se cruzan en el punto (2, 1) entonces la respuesta es x = 2 y y = 1. En algunos sistemas de ecuaciones, el punto donde la línea se cruza está entre dos números enteros, y si la gráfica no es muy precisa, es difícil determinar dónde están los valores xey en el punto de intersección. Si está permitido, puede escribir “x está entre 1 y 2” como respuesta, o usar el método de sustitución o eliminación para encontrar la respuesta.
Consejos
- Puede verificar su trabajo insertando las respuestas en la ecuación original. Si la ecuación resulta ser cierta (por ejemplo, 3 = 3), significa que su respuesta es correcta.
- Cuando se usa el método de eliminación, a veces es necesario multiplicar la ecuación por un número negativo para que las variables se cancelen entre sí.
