Una ecuación cuadrática es una ecuación cuyo grado más alto es 2 (al cuadrado). Hay tres formas principales de resolver una ecuación cuadrática: factorizar la ecuación cuadrática si puede, usar una fórmula cuadrática o completar el cuadrado. Si desea dominar estos tres métodos, siga estos pasos.
Paso
Método 1 de 3: Factorizar ecuaciones
Paso 1. Combine todas las variables iguales y muévalas a un lado de la ecuación
El primer paso para factorizar una ecuación es mover todas las variables iguales a un lado de la ecuación, con x2es positivo. Para combinar variables, sume o reste todas las variables x2, xy constantes (enteros), muévalas al otro lado de la ecuación para que no quede nada en el otro lado. Cuando el otro lado no tenga variables restantes, escriba un 0 junto al signo igual. He aquí cómo hacerlo:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 + x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3 veces2 - 11x - 4 = 0
Paso 2. Factoriza esta ecuación
Para factorizar esta ecuación, debes usar el factor x2 (3) y el factor constante (-4), multiplicándolos y sumándolos para ajustar la variable en el medio, (-11). He aquí cómo hacerlo:
- 3 veces2 tiene solo un factor posible que es, 3x y x, puede escribirlos entre paréntesis: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Luego, use el proceso de eliminación para factorizar 4 para encontrar el producto que rinde -11x. Puedes usar el producto de 4 y 1, o 2 y 2, porque cuando multiplicas ambos obtienes 4. Pero recuerda que uno de los números debe ser negativo porque el resultado es -4.
- Pruebe (3x + 1) (x - 4). Cuando lo multiplicas, el resultado es - 3x2 -12x + x -4. Si combina las variables -12 x y x, el resultado es -11x, que es su valor medio. Acabas de factorizar una ecuación cuadrática.
- Por ejemplo, intentemos factorizar el otro producto: (3x -2) (x +2) = 3x2 + 6x -2x -4. Si combina las variables, el resultado es 3x2 -4x -4. Aunque los factores de -2 y 2 cuando se multiplican producen -4, la media no es la misma porque desea obtener un valor de -11x en lugar de -4x.
Paso 3. Suponga que cada paréntesis es cero en una ecuación diferente
Esto te permitirá encontrar 2 valores de x que harán que tu ecuación sea cero. Ha factorizado su ecuación, por lo que todo lo que tiene que hacer es asumir que el cálculo en cada paréntesis es igual a cero. Por lo tanto, puede escribir 3x + 1 = 0 y x - 4 = 0.
Paso 4. Resuelve cada ecuación por separado
En una ecuación cuadrática, hay 2 valores para x. Resuelva cada ecuación por separado moviendo las variables y escribiendo 2 respuestas para x, así:
-
Resolver 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. restando
- 3x / 3 = -1/3….. dividiendo
- x = -1/3….. simplificando
-
Resolver x - 4 = 0
x = 4….. restando
- x = (-1/3, 4)….. al separar varias respuestas posibles, lo que significa que x = -1/3 o x = 4 ambas pueden ser correctas.
Paso 5. Compruebe x = -1/3 en (3x + 1) (x - 4) = 0:
Así obtenemos (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0….. sustituyendo (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0….. simplificando (0) (- 4 1/3) = 0….. multiplicando Entonces, 0 = 0….. Sí, x = -1/3 es cierto.
Paso 6. Compruebe x = 4 en (3x + 1) (x - 4) = 0:
Así obtenemos (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. sustituyendo (13) (4 - 4)? =? 0….. simplificando (13) (0) = 0….. multiplicando Entonces, 0 = 0….. Sí, x = 4 también es cierto.
Entonces, después de verificar por separado, ambas respuestas son correctas y se pueden usar en ecuaciones
Método 2 de 3: uso de la fórmula cuadrática
Paso 1. Combine todas las variables iguales y muévalas a un lado de la ecuación
Mueve todas las variables a un lado de la ecuación, con el valor de la variable x2 positivo. Escriba las variables con exponentes secuenciales, de modo que x2 escrito primero, seguido de variables y constantes. He aquí cómo hacerlo:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - X2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3 veces2 - 5x - 8 = 0
Paso 2. Escribe la fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática es: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}
Paso 3. Determine los valores de a, byc a partir de la ecuación cuadrática
La variable a es el coeficiente x2, b es el coeficiente de la variable x, y c es una constante. Para la ecuación 3x.2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 y c = -8. Anote los tres.
Paso 4. Sustituye los valores de a, b y c en la ecuación
Una vez que conozca los valores de las tres variables, conéctelos en una ecuación como esta:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Paso 5. Realice cálculos
Una vez que haya ingresado los números, haga algunos cálculos matemáticos para simplificar el signo positivo o negativo, multiplique o eleve al cuadrado las variables restantes. He aquí cómo hacerlo:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Paso 6. Simplifique la raíz cuadrada
Si el número debajo de la raíz cuadrada es un cuadrado perfecto, obtienes un número entero. Si el número no es un cuadrado perfecto, simplifica a su forma raíz más simple. Si el número es negativo y cree que debería ser negativo, el valor de la raíz será complicado. En este ejemplo, (121) = 11. Puede escribir x = (5 +/- 11) / 6.
Paso 7. Busque las respuestas positivas y negativas
Una vez que haya eliminado el signo de la raíz cuadrada, puede avanzar hasta encontrar un resultado positivo y negativo para x. Ahora que tiene (5 +/- 11) / 6, puede escribir 2 respuestas:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Paso 8. Complete las respuestas positivas y negativas
Realice cálculos matemáticos:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Paso 9. Simplifique
Para simplificar cada respuesta, divida por el número más grande que pueda dividir ambos números. Divide la primera fracción por 2 y divide la segunda entre 6, y habrás encontrado el valor de x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Método 3 de 3: Completa el cuadrado
Paso 1. Mueva todas las variables a un lado de la ecuación
Asegúrese de que una o la variable x2 positivo. He aquí cómo hacerlo:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
En esta ecuación, la variable a es 2, la variable b es -12 y la variable c es -9
Paso 2. Mueva la variable o constante c al otro lado
Las constantes son términos numéricos sin variables. Mover al lado derecho de la ecuación:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Paso 3. Divida ambos lados por el coeficiente ao la variable x2.
Si x2 no tiene una variable y el coeficiente es 1, puede omitir este paso. En este caso, debes dividir todas las variables entre 2, así:
- 2x2/ 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- X2 - 6x = 9/2
Paso 4. Divida b entre 2, eleve al cuadrado y sume el resultado a ambos lados
El valor de b en este ejemplo es -6. He aquí cómo hacerlo:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- X2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Paso 5. Simplifique ambos lados
Factoriza la variable del lado izquierdo para obtener (x-3) (x-3) o (x-3)2. Agregue los valores a la derecha para obtener 9/2 + 9 o 9/2 + 18/2, que es 27/2.
Paso 6. Encuentra la raíz cuadrada de ambos lados
Raíz cuadrada de (x-3)2 es (x-3). Puedes escribir la raíz cuadrada de 27/2 como ± √ (27/2). Por tanto, x - 3 = ± √ (27/2).
Paso 7. Simplifica las raíces y encuentra el valor de x
Para simplificar ± √ (27/2), encuentra el cuadrado perfecto entre los números 27 y 2 o factoriza ese número. El cuadrado perfecto de 9 se puede encontrar en 27 porque 9 x 3 = 27. Para sacar 9 de la raíz cuadrada, saque 9 de la raíz y escriba 3, la raíz cuadrada, fuera de la raíz cuadrada. Deje el resto 3 en el numerador de la fracción debajo de la raíz cuadrada, ya que 27 no resuelve todos los factores, y escriba 2 a continuación. Luego, mueve la constante 3 en el lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha y escribe tus dos soluciones para x:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
Consejos
- Como puede ver, las marcas de la raíz no desaparecerán por completo. Por tanto, las variables del numerador no se pueden combinar (porque no son iguales). No tiene sentido separarlo en positivo o negativo. Sin embargo, podemos dividirlo por el mismo factor, pero SOLAMENTE si los factores son los mismos para ambas constantes Y coeficiente de raíz.
- Si el número debajo de la raíz cuadrada no es un cuadrado perfecto, los últimos pasos son un poco diferentes. He aquí un ejemplo:
- Si b es un número par, la fórmula se convierte en: {- (b / 2) +/- (b / 2) -ac} / a.
