En matemáticas, factorización es una forma de encontrar números o expresiones que, cuando se multiplican, producirán un número o ecuación determinados. Factorizar es una habilidad útil para aprender a resolver problemas sencillos de álgebra; la capacidad de factorizar bien, se vuelve importante cuando se trata de ecuaciones cuadráticas y otras formas de polinomios. La factorización se puede utilizar para simplificar expresiones algebraicas para facilitar sus soluciones. La factorización puede incluso darle la capacidad de eliminar ciertas respuestas posibles, mucho más rápido que resolverlas manualmente.
Paso
Método 1 de 3: Factorizar números y expresiones algebraicas simples
Paso 1. Comprender la definición de factorización cuando se aplica a números simples
Factorizar es un concepto simple, pero en la práctica, puede ser un desafío cuando se aplica a ecuaciones complejas. Por lo tanto, es más fácil abordar el concepto de factorización comenzando con números simples, luego pasando a ecuaciones simples, antes de pasar finalmente a aplicaciones más complejas. Los factores de un número son números que cuando se multiplican producen el número. Por ejemplo, los factores de 12 son 1, 12, 2, 6, 3 y 4, porque 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4 son iguales a 12.
- Otra forma de pensar es que los factores de un número son números que se pueden dividir uniformemente en el número.
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¿Puedes encontrar todos los factores del número 60? Usamos el número 60 para varios propósitos (minutos en una hora, segundos en un minuto, etc.) porque puede ser divisible por muchos otros números.
Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60
Paso 2. Comprender que las expresiones variables también se pueden factorizar
Así como se pueden factorizar los números mismos, las variables con coeficientes numéricos también se pueden factorizar. Para hacer esto, simplemente encuentre los factores de los coeficientes de la variable. Saber cómo factorizar una variable es muy útil para simplificar ecuaciones algebraicas que involucran esa variable.
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Por ejemplo, la variable 12x se puede escribir como el producto de los factores 12 y x. Podemos escribir 12x como 3 (4x), 2 (6x), etc., usando los factores de 12 que funcionen mejor para nuestros propósitos.
Incluso podemos factorizar 12 veces varias veces. En otras palabras, no tenemos que detenernos en 3 (4x) o 2 (6x); podemos factorizar 4x y 6x para producir 3 (2 (2x) y 2 (3 (2x). Por supuesto, estas dos expresiones son equivalentes
Paso 3. Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación para factorizar ecuaciones algebraicas
Usando su conocimiento de cómo factorizar tanto números simples como variables con coeficientes, puede simplificar ecuaciones algebraicas simples al encontrar los factores que los números y las variables comparten en ecuaciones algebraicas. Por lo general, para simplificar una ecuación, intentamos encontrar el máximo factor común. Este proceso de simplificación es posible debido a la propiedad distributiva de la multiplicación, que se aplica a cualquier número a, by c. a (b + c) = ab + ac.
- Probemos con una pregunta de ejemplo. Para factorizar la ecuación algebraica 12x + 6, primero, intentemos encontrar el máximo factor común de 12x y 6. 6 es el número más grande que puede dividir de manera uniforme 12x y 6, por lo que podemos simplificar la ecuación a 6 (2x + 1).
- Este proceso también se aplica a ecuaciones con números negativos y fracciones. Por ejemplo, x / 2 + 4, se puede simplificar a 1/2 (x + 8), y -7x + -21 se puede factorizar en -7 (x + 3).
Método 2 de 3: Factorizar ecuaciones cuadráticas
Paso 1. Asegúrate de que la ecuación esté en forma cuadrática (ax2 + bx + c = 0).
Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, byc son constantes numéricas y no son iguales a 0 (tenga en cuenta que a puede ser igual a 1 o -1). Si tiene una ecuación que tiene una variable (x) que tiene un término x elevado a dos o más, generalmente mueve estos términos en la ecuación usando operaciones algebraicas simples para obtener 0 a cada lado del signo igual y ax2etc. Por otro lado.
- Por ejemplo, pensemos en una ecuación algebraica. 5 veces2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 se puede simplificar ax2 + 6x + 9 = 0, que es la forma cuadrada.
- Ecuaciones con la mayor potencia de x, como x3, X4etc. no son ecuaciones cuadráticas. Estas ecuaciones son ecuaciones cúbicas, a la cuarta potencia, etc., a menos que la ecuación se pueda simplificar para eliminar estos términos x con potencias mayores que 2.
Paso 2. En una ecuación cuadrática, donde a = 1, factorizar en (x + d) (x + e), donde d × e = c y d + e = b
Si su ecuación cuadrática tiene la forma x2 + bx + c = 0 (en otras palabras, si el coeficiente del término x2 = 1), es posible (pero no garantizado) que se pueda utilizar un método abreviado bastante sencillo para factorizar la ecuación. Encuentra dos números que cuando se multiplican dan c y sumado para producir b. Después de buscar estos dos números dye, colóquelos en la siguiente expresión: (x + d) (x + e). Estos dos términos, cuando se multiplican, le dan su ecuación cuadrática; en otras palabras, son los factores de su ecuación cuadrática.
- Por ejemplo, pensemos en la ecuación cuadrática x2 + 5x + 6 = 0. 3 y 2 se multiplican para dar 6 y también se suman para dar 5, por lo que podemos simplificar esta ecuación a (x + 3) (x + 2).
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La ligera diferencia en este método abreviado básico radica en las diferencias en las similitudes mismas:
- Si la ecuación cuadrática tiene la forma x2-bx + c, su respuesta está en esta forma: (x - _) (x - _).
- Si la ecuación tiene la forma x2+ bx + c, su respuesta se ve así: (x + _) (x + _).
- Si la ecuación tiene la forma x2-bx-c, su respuesta tiene la forma (x + _) (x - _).
- Nota: los números en los espacios en blanco pueden ser fracciones o decimales. Por ejemplo, la ecuación x2 + (21/2) x + 5 = 0 se factoriza en (x + 10) (x + 1/2).
Paso 3. Si es posible, factorice las comprobaciones
Lo crea o no, para las ecuaciones cuadráticas sencillas, uno de los métodos de factorización permitidos es examinar el problema y luego considerar las posibles respuestas hasta encontrar la respuesta correcta. Este método también se conoce como factorización mediante examen. Si la ecuación tiene la forma ax2+ bx + cy a> 1, su respuesta de factor está en la forma (dx +/- _) (ex +/- _), donde dye son constantes de números distintos de cero que cuando se multiplican da a. Ni d ni e (o ambos) pueden ser 1, aunque no tiene por qué serlo. Si ambos son 1, básicamente está utilizando el método abreviado descrito anteriormente.
Pensemos en un problema de ejemplo. 3 veces2 - 8x + 4 parece difícil al principio. Sin embargo, una vez que nos damos cuenta de que 3 tiene solo dos factores (3 y 1), esta ecuación se vuelve más fácil porque sabemos que nuestra respuesta debe ser de la forma (3x +/- _) (x +/- _). En este caso, sumar -2 a ambos espacios en blanco da la respuesta correcta. -2 × 3x = -6x y -2 × x = -2x. -6x y -2x suman -8x. -2 × -2 = 4, por lo que podemos ver que los términos factorizados entre paréntesis cuando se multiplican producen la ecuación original.
Paso 4. Resuelve completando el cuadrado
En algunos casos, las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar rápida y fácilmente utilizando identidades algebraicas especiales. Cualquier ecuación cuadrática en la forma x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Entonces, si en su ecuación su valor b es el doble de la raíz cuadrada de su valor c, su ecuación se puede factorizar a (x + (root (c)))2.
Por ejemplo, la ecuación x2 + 6x + 9 tiene esta forma. 32 es 9 y 3 × 2 es 6. Entonces, sabemos que la forma factorial de esta ecuación es (x + 3) (x + 3), o (x + 3)2.
Paso 5. Usa factores para resolver ecuaciones cuadráticas
Independientemente de cómo factorizó su ecuación cuadrática, una vez factorizada la ecuación, puede encontrar posibles respuestas al valor de x haciendo que cada factor sea igual a cero y resolviéndolos. Ya que estás buscando el valor de x que hace que tu ecuación sea igual a cero, el valor de x que hace que cualquier factor sea igual a cero es una posible respuesta a tu ecuación cuadrática.
Volvamos a la ecuación x2 + 5x + 6 = 0. Esta ecuación se factoriza en (x + 3) (x + 2) = 0. Si cualquiera de los factores es igual a 0, todas las ecuaciones son iguales a 0, por lo que nuestras posibles respuestas para x son números, un número que hace (x + 3) y (x + 2) igual a 0. Estos números son -3 y -2, respectivamente.
Paso 6. Verifique sus respuestas: ¡algunas de las respuestas pueden ser engañosas
Cuando encuentre posibles respuestas para x, vuelva a insertarlas en su ecuación original para ver si la respuesta es correcta. A veces, las respuestas que encuentra no hacen que la ecuación original sea igual a cero cuando se vuelve a ingresar. Llamamos a esta respuesta desviada y la ignoramos.
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Pongamos -2 y -3 en x2 + 5x + 6 = 0. Primero, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Esta respuesta es correcta, entonces -2 es la respuesta correcta.
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Ahora, intentemos -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Esta respuesta también es correcta, entonces -3 es la respuesta correcta.
Método 3 de 3: Factorizar otras ecuaciones
Paso 1. Si la ecuación se expresa en la forma a2-B2, factorizar en (a + b) (a-b).
Las ecuaciones con dos variables tienen factores diferentes a la ecuación cuadrática básica. Para la ecuación a2-B2 cualquier cosa donde ayb no sean iguales a 0, los factores de la ecuación son (a + b) (a-b).
Por ejemplo, la ecuación 9x2 - 4 años2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Paso 2. Si la ecuación se expresa en la forma a2+ 2ab + b2, factorizar en (a + b)2.
Tenga en cuenta que, si el trinomio es de la forma a2-2ab + b2, los factores de forma son ligeramente diferentes: (a-b)2.
Ecuación 4x.2 + 8xy + 4y2 se puede reescribir como 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Ahora, podemos ver que la forma es correcta, por lo que podemos estar seguros de que los factores de nuestra ecuación son (2x + 2y)2
Paso 3. Si la ecuación se expresa en la forma a3-B3, factorizar en (a-b) (a2+ ab + b2).
Finalmente, ya se mencionó que se pueden factorizar ecuaciones cúbicas e incluso potencias superiores, aunque el proceso de factorización rápidamente se vuelve muy complicado.
Por ejemplo, 8x3 - 27 años3 factorizado en (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3 años)) + 9 años2)
Consejos
- a2-B2 se puede factorizar, un2+ b2 no se puede factorizar.
- Recuerda cómo factorizar una constante. Esto podría ayudar.
- Tenga cuidado con las fracciones en el proceso de factorización y trabaje con fracciones correcta y cuidadosamente.
- Si tienes un trinomio de la forma x2+ bx + (b / 2)2, el factor de forma es (x + (b / 2))2. (Puede encontrar esta situación al completar el cuadrado).
- Recuerde que a0 = 0 (la propiedad del producto de cero).
