3 formas de resolver ecuaciones cúbicas

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificación: 2024-01-16 19:22

Cuando encuentre por primera vez la ecuación cúbica (que tiene la forma ax ³ + bx ² + cx + d = 0), tal vez piense que el problema será difícil de resolver. ¡Pero sepa que la resolución de ecuaciones cúbicas ha existido durante siglos! Esta solución, descubierta por los matemáticos italianos Niccolò Tartaglia y Gerolamo Cardano en el siglo XVI, es una de las primeras fórmulas conocidas en la antigua Grecia y Roma. Resolver ecuaciones cúbicas puede ser un poco difícil, pero con el enfoque correcto (y el conocimiento suficiente), se pueden resolver incluso las ecuaciones cúbicas más difíciles.

Paso

Método 1 de 3: Resolver usando ecuaciones cuadráticas

Paso 1. Verifica si tu ecuación cúbica tiene una constante

Como se indicó anteriormente, la forma de la ecuación cúbica es ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, y el valor de d puede ser 0 sin afectar la forma de esta ecuación cúbica; esto básicamente significa que la ecuación cúbica no siempre tiene que incluir el valor de bx ², cx o d sea una ecuación cúbica. Para comenzar a usar esta forma bastante fácil de resolver ecuaciones cúbicas, verifique si su ecuación cúbica tiene una constante (o un valor de d). Si su ecuación no tiene una constante o un valor para d, entonces puede usar una ecuación cuadrática para encontrar la respuesta a la ecuación cúbica después de algunos pasos.

Por otro lado, si su ecuación tiene un valor constante, necesitará otra solución. Consulte los pasos a continuación para conocer otros enfoques

Paso 2. Factoriza el valor x de la ecuación cúbica

Dado que su ecuación no tiene un valor constante, todos sus componentes tienen la variable x. Esto significa que este valor de x se puede factorizar fuera de la ecuación para simplificarlo. Haz este paso y reescribe tu ecuación cúbica en la forma x (ax ² + bx + c).

Por ejemplo, digamos que la ecuación cúbica original aquí es 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Al factorizar una variable x de esta ecuación, obtenemos la ecuación x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Paso 3. Usa ecuaciones cuadráticas para resolver las ecuaciones entre paréntesis

Puede notar que algunas de sus nuevas ecuaciones, que están entre paréntesis, tienen la forma de una ecuación cuadrática (ax ² + bx + c). Esto significa que podemos encontrar el valor necesario para hacer que esta ecuación sea igual a cero reemplazando a, byc en la fórmula de la ecuación cuadrática ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a). Realice estos cálculos para encontrar dos respuestas a su ecuación cúbica.

• En nuestro ejemplo, sustituya los valores de a, byc (3, -2 y 14, respectivamente) en la ecuación cuadrática de la siguiente manera:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Respuesta 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i} / 6

• Respuesta 2:

  {2 - 12,8 i} / 6

Paso 4. Usa ceros y tu respuesta a tu ecuación cuadrática como tu respuesta a tu ecuación cúbica

Las ecuaciones cuadráticas tendrán dos respuestas, mientras que las ecuaciones cúbicas tienen tres respuestas. Ya sabes dos de tres respuestas; que se obtiene de la parte "al cuadrado" de la ecuación entre paréntesis. Si su ecuación cúbica se puede resolver mediante una "factorización" como esta, su tercera respuesta es casi siempre 0. ¡A salvo! Acabas de resolver una ecuación cúbica.

La razón que hace que este método funcione es el hecho fundamental de que "cualquier número multiplicado por cero es igual a cero". Cuando factorizas tu ecuación en la forma x (ax ² + bx + c) = 0, básicamente lo divide en dos "partes"; una parte es la variable x en el lado izquierdo y la otra parte es la ecuación cuadrática entre paréntesis. Si una de estas dos partes es cero, la ecuación completa también será cero. Por lo tanto, las dos respuestas a la ecuación cuadrática entre paréntesis, lo que la haría cero, son las respuestas a la ecuación cúbica, así como el propio 0, lo que haría que la parte del lado izquierdo también fuera cero.

Método 2 de 3: Encontrar respuestas enteras usando una lista de factores

Paso 1. Asegúrese de que su ecuación cúbica tenga un valor constante

Si bien los métodos descritos anteriormente son bastante fáciles de usar porque no necesita aprender una nueva técnica de cálculo para usarlos, no siempre lo ayudarán a resolver ecuaciones cúbicas. Si su ecuación cúbica tiene la forma ax ³ + bx ² + cx + d = 0, donde el valor de d no es igual a cero, el método de "factorización" anterior no funciona, por lo que deberá usar uno de los métodos de esta sección para resolver esto.

Por ejemplo, digamos que tenemos la ecuación 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. En este caso, para obtener cero en el lado derecho de la ecuación, debemos sumar 6 en ambos lados. Después de eso, obtendremos una nueva ecuación 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, con un valor de d = 6, por lo que no podemos utilizar el método de "factorización" como en el método anterior.

Paso 2. Encuentra los factores de ay d

Para resolver su ecuación cúbica, comience por encontrar el factor de a (el coeficiente de x ³) yd (el valor constante al final de la ecuación). Recuerde, los factores son números que se pueden multiplicar entre sí para producir un número determinado. Por ejemplo, dado que puedes obtener 6 al multiplicar 6 × 1 y 2 × 3, 1, 2, 3 y 6 son factores de 6.

• En el problema de ejemplo que estamos usando, a = 2 y d = 6. El factor de 2 es 1 y 2. Mientras que el factor de 6 es 1, 2, 3 y 6.

  

  Paso 3. Divida el factor a por el factor d

  Luego, enumera los valores que obtienes al dividir cada factor de a por cada factor de d. Este cálculo generalmente da como resultado muchos valores fraccionarios y varios números enteros. El valor entero para resolver su ecuación cúbica es uno de los números enteros obtenidos del cálculo.

  En nuestra ecuación, divide el valor del factor de a (1, 2) por el factor de d (1, 2, 3, 6) y obtén los siguientes resultados: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 y 2/3. A continuación, agregue valores negativos a la lista y obtenemos: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 y -2/3. La respuesta a la ecuación cúbica, que es un número entero, está en la lista.

  

  Paso 4. Utilice la división sintética para verificar manualmente sus respuestas

  Una vez que tenga una lista de valores como la anterior, puede buscar los valores enteros que son las respuestas a su ecuación cúbica ingresando cada entero manualmente y encontrar qué valor devuelve cero. Sin embargo, si no quiere perder tiempo haciendo esto, hay una manera de hacerlo más rápidamente, es decir, con un cálculo llamado división sintética. Básicamente, dividiría su valor entero por los coeficientes originales de a, b, cyd en su ecuación cúbica. Si el resto es cero, entonces ese valor es una de las respuestas a su ecuación cúbica.

  • La división sintética es un tema complejo; consulte el enlace a continuación para obtener más información. Aquí hay un ejemplo de cómo encontrar una de las respuestas a su ecuación cúbica con división sintética:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Como obtenemos el resultado final igual a 0, sabemos que una de las respuestas enteras a nuestra ecuación cúbica es - 1.

  Método 3 de 3: Uso del enfoque discriminante

  

  Paso 1. Escribe las ecuaciones a, b, c y d

  Para encontrar la respuesta a la ecuación cúbica de esta manera, haremos muchos cálculos con los coeficientes de nuestra ecuación. Debido a esto, es una buena idea anotar los valores de a, b, cyd antes de olvidar cualquiera de los valores.

  Por ejemplo, para la ecuación x ³ - 3 x ² + 3 x - 1, escríbalo como a = 1, b = -3, c = 3 y d = -1. No olvide que cuando la variable x no tiene coeficiente, su valor es 1.

  

  Paso 2. Calcula 0 = b ² - 3 aires acondicionados.

  El enfoque discriminante para encontrar respuestas a ecuaciones cúbicas requiere cálculos complejos, pero si sigue los pasos con cuidado, puede ser muy útil para resolver ecuaciones cúbicas que son difíciles de resolver de otras formas. Para empezar, encuentre el valor de 0, que es el primer valor significativo de los varios que necesitamos, insertando el valor apropiado en la fórmula b ² - 3 aires acondicionados.

  • En el ejemplo que estamos usando, lo resolveremos de la siguiente manera:

    B ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Paso 3. Calcula 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² D.

  El siguiente valor significativo que necesitamos, 1, requiere un cálculo más largo, pero se puede encontrar de la misma manera que 0. Inserte el valor apropiado en la fórmula 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d para obtener el valor de 1.

  • En este ejemplo, lo resolvemos de la siguiente manera:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Paso 4. Calcular = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  A continuación, calculamos el valor "discriminante" de los valores 0 y 1. El discriminante es un número que le da información sobre la raíz del polinomio (es posible que haya memorizado inconscientemente la fórmula del discriminante cuadrático: b ² - 4 aires acondicionados). En el caso de una ecuación cúbica, si el valor del discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene tres respuestas de números reales. Si el valor discriminante es igual a cero, entonces la ecuación tiene una o dos respuestas de números reales y algunas de las respuestas tienen el mismo valor. Si el valor es negativo, entonces la ecuación solo tiene una respuesta numérica real, porque la gráfica de la ecuación siempre intersecará el eje x al menos una vez).

  • En este ejemplo, dado que tanto 0 como 1 = 0, encontrar el valor de es muy fácil. Solo necesitamos calcularlo de la siguiente manera:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, entonces nuestra ecuación tiene 1 o 2 respuestas.

  

  Paso 5. Calcule C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2).

  El último valor que es importante que obtengamos es el valor de C. Este valor nos permite obtener las tres raíces de nuestra ecuación cúbica. Resuelva como de costumbre, insertando los valores de 1 y 0 en la fórmula.

  • En este ejemplo, obtendremos el valor de C mediante:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Paso 6. Calcula las tres raíces de la ecuación con tu variable

  La raíz (respuesta) de su ecuación cúbica está determinada por la fórmula (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, donde u = (-1 + (-3)) / 2 yn es igual a 1, 2 o 3. Ingresa tus valores en la fórmula para resolverlos; puede haber bastantes cálculos que debas hacer, ¡pero deberías obtener las tres respuestas de tus ecuaciones cúbicas!

  • En este ejemplo, podríamos resolverlo verificando las respuestas cuando n es igual a 1, 2 y 3. La respuesta que obtenemos de este cálculo es la respuesta posible a nuestra ecuación cúbica: cualquier valor que introducimos en la ecuación cúbica y da el mismo resultado con 0, es la respuesta correcta. Por ejemplo, si obtenemos una respuesta igual a 1 si en uno de nuestros experimentos de cálculo, insertando el valor 1 en la ecuación x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 produce el resultado final igual a 0. Por lo tanto

    Paso 1. es una de las respuestas a nuestra ecuación cúbica.