Si bien a veces puede parecer abrumador, el problema de la raíz cuadrada en realidad no es tan difícil de resolver. Los problemas simples de raíces cuadradas generalmente se pueden resolver tan fácilmente como los problemas básicos de multiplicación y división. Para preguntas más complejas, se necesita un poco de esfuerzo adicional. Pero con el enfoque correcto, se puede resolver cualquier problema difícil. A través de este artículo, lo ayudaremos a resolver problemas de raíces cuadradas en unos sencillos pasos.
Paso
Parte 1 de 3: Comprensión de cuadrados y raíces cuadradas
Paso 1. El cuadrado es el número multiplicado por el número mismo
Para comprender la raíz cuadrada, es bueno comprender primero el significado del cuadrado. En pocas palabras, un cuadrado es un número multiplicado por el número en sí. Por ejemplo, 3 al cuadrado es 3 por 3 = 9 y 9 al cuadrado es 9 por 9 = 81. El cuadrado está representado por el 2 pequeño en la parte superior derecha del número al cuadrado, así: 32, 92, 1002etc.
Intente elevar al cuadrado otros números para probar este concepto. Recuerde, elevar un número al cuadrado es multiplicar un número por sí mismo. Incluso puedes elevar al cuadrado números negativos. El resultado siempre será un número positivo. Por ejemplo, -82 = -8 × -8 = 64.
Paso 2. La raíz cuadrada es el recíproco del cuadrado
El símbolo de la raíz cuadrada (√, también conocido como el símbolo "radical") es esencialmente el opuesto del símbolo 2. Cuando encuentre un radical, pregúntese: ¿qué número, si se eleva al cuadrado, resultaría en el número dentro del radical? Por ejemplo, si observa √ (9), encuentre el número que al cuadrado es nueve. Por tanto, la respuesta es "tres", porque 32 = 9.
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Como otro ejemplo, intentemos encontrar la raíz cuadrada de 25 (√ (25)). Es decir, buscamos un número que cuando se eleva al cuadrado, el resultado es 25. Porque 52 = 5 × 5 = 25, entonces (25) =
Paso 5..
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La raíz cuadrada también se puede considerar "deshacer" el cuadrado. Por ejemplo, si queremos encontrar (64), la raíz cuadrada de 64, entonces piense en 64 como 82. Dado que el símbolo de la raíz cuadrada esencialmente "niega" el símbolo del cuadrado, por lo tanto (64) = (82) =
Paso 8..
Paso 3. Conoce la diferencia entre cuadrados perfectos e imperfectos
Hasta ahora, los resultados de nuestros cálculos de raíz cuadrada eran números enteros. Las preguntas a las que te enfrentarás más adelante no serán tan fáciles, habrá preguntas con respuestas de números decimales con algunos dígitos detrás de la coma. Los números que se redondean después de elevar al cuadrado (es decir, no números decimales o fraccionarios) también se denominan "cuadrados perfectos". Todos los ejemplos anteriores (9, 25 y 64) son cuadrados perfectos porque si están al cuadrado, el resultado es un número entero (3, 5 y 8).
Por otro lado, los números que no se redondean después de elevarse al cuadrado, son "cuadrados imperfectos". Por lo general, después de elevar al cuadrado, el resultado es un número decimal o fraccionario. A veces, incluso los números parecen muy complicados, como (13) = 3, 605551275464…
Paso 4. Memorice el cuadrado de los números del 1 al 12
Como ya sabe, elevar al cuadrado un número cuadrado perfecto es muy fácil. Memorizar los cuadrados de los números del 1 al 12 puede ser muy útil porque estos números aparecerán mucho en el problema. Por lo tanto, ahorrará tiempo mientras trabaja en las preguntas. Los primeros 12 números al cuadrado son:
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12 = 1 × 1 =
Paso 1.
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22 = 2 × 2 =
Paso 4.
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32 = 3 × 3 =
Paso 9.
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42 = 4 × 4 =
Paso 16.
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52 = 5 × 5 =
Paso 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Paso 5. Simplifique la raíz cuadrada quitando los cuadrados perfectos
Encontrar la raíz cuadrada de un número cuadrado imperfecto puede ser complicado, especialmente si no usa una calculadora. Sin embargo, el número que se va a elevar al cuadrado se puede simplificar para que sea más fácil de calcular. Para hacer esto, simplemente separe el número dentro del radical en varios factores, luego elimine la raíz cuadrada de los números cuadrados perfectos y escriba la respuesta fuera del radical. Este método es bastante fácil de hacer; para darle una mejor comprensión, aquí hay más explicación:
- Digamos que queremos calcular la raíz cuadrada de 900. Entonces, simplemente divida 900 en sus factores. Los "factores" son números que se pueden multiplicar para producir otro número. Por ejemplo, el número 6 se puede obtener multiplicando y 1 × 6 y 2 × 3, por lo que los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
- Con ese principio en mente, analicemos 900 en sus factores. Para empezar, escribimos 900 como 9 × 100. Dado que 9 es un cuadrado perfecto, podemos sacar la raíz cuadrada de 100 por separado. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). En otras palabras, (900) = 3√(100).
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Podemos simplificarlo aún más separando 100 en sus factores, a saber, 25 y 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Por lo tanto, se puede calcular (900) = 3 (10) =
Paso 30..
Paso 6. Usa un número imaginario para la raíz cuadrada de un número negativo
Piensa, ¿qué número si al cuadrado el resultado es -16? La respuesta no. Todos los números al cuadrado el resultado es siempre positivo, porque es negativo (-), cuando se multiplica por negativo el resultado es positivo (+). Entonces, para elevar al cuadrado un número negativo, necesitamos reemplazar el número negativo con un número imaginario (generalmente en forma de letras o símbolos). Por ejemplo, la variable "i" se usa generalmente para la raíz cuadrada de -1. Un número imaginario siempre está en la raíz cuadrada de un número negativo.
Cabe señalar que, aunque los números imaginarios nunca se representan mediante números, aún pueden tratarse como números de varias formas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo se puede elevar al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada. Por ejemplo, yo2 = - 1
Parte 2 de 3: Utilice el algoritmo de estilo de división larga
Paso 1. Resolver problemas de raíz cuadrada como problemas de división larga
Aunque requieren mucho tiempo, los problemas de raíces cuadradas difíciles se pueden resolver sin una calculadora. Para hacer esto, usaremos un método (o algoritmo) similar a la división de pila larga.
- Empiece por escribir el problema de la raíz cuadrada como lo haría con un problema de división larga. Como ejemplo de problema, encuentre la raíz de 6, 45, que no es un número entero. Primero, escribimos el símbolo radical (√), luego debajo de él escribimos el número del que queremos tomar el cuadrado. Luego dibuja una línea sobre los números, como una división de apilamiento larga. Ahora, el símbolo "√" parece tener una cola con el número 6.45 en la parte inferior.
- Escribiremos los números sobre el problema, así que asegúrese de dejar un espacio en blanco.
Paso 2. Agrupe los dígitos del número en pares
Primero, agrupa los dígitos del número debajo del radical en pares, comenzando por el punto decimal. Haga algún tipo de marcador (punto, coma, línea, etc.) entre pares para facilitar el seguimiento.
En el problema de ejemplo, 6, 45 se dividirán en 6-, 45-00. Recuerde que hay dígitos "restantes" a la izquierda; esto no es un problema.
Paso 3. Encuentre el número más grande cuyo valor cuadrado sea menor o igual que el primer grupo
Empiece con el primer número del grupo de la izquierda. Elija el número más grande cuyo valor cuadrado sea menor o igual en el grupo. Por ejemplo, si el grupo es 37, elija 6 porque 62 = 36 <37 pero 72 = 49> 37. Escriba este número encima del primer grupo. Este número es el primer dígito de su respuesta.
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En el problema de ejemplo, el primer grupo de 6, 45-00 es 6. El número más grande que es menor o igual a 6 al cuadrado es
Paso 2. - 22 = 4. Escribe el número "2" sobre 6 y la cola es un radical.
Paso 4. Multiplique el número que acaba de anotar, luego bájelo y luego réstelo
Toma el primer dígito de tu respuesta (escrito encima del radical) y multiplícalo. Escriba la respuesta debajo del primer grupo y reste para encontrar la diferencia. Coloque el siguiente grupo a la derecha de la diferencia que acaba de calcular. Finalmente, escriba el último dígito de multiplicar el primer dígito de su respuesta a la izquierda y deje un espacio en blanco a la derecha.
En el problema de ejemplo, el número que se duplica es 2 (el primer dígito de la respuesta anterior). 2 × 2 = 4. Luego, reste 4 por 6 (del primer grupo). 6 - 4 el resultado es 2. Luego, baje el siguiente grupo (45) y obtenemos 245. Finalmente, escriba el número 4 nuevamente a la izquierda y deje un pequeño espacio a la derecha, así: 4_
Paso 5. Complete el espacio en blanco
Agrega los dígitos a la derecha del número que escribiste a la izquierda. Elija el dígito que da el valor más grande cuando se multiplica por este nuevo número, pero aún es menor o igual que el "número derivado". Por ejemplo, si el "número derivado" es 1700 y el número a la izquierda es 40_, el número que debe introducirse es "4" porque 404 × 4 = 1616 <1700, mientras que 405 × 5 = 2025. El número que se encuentra en este paso es el segundo dígito de tu respuesta, así que escríbelo encima del símbolo radical.
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En el problema de ejemplo, buscaremos el número junto a 4_ × _ cuya respuesta es el número más grande pero es menor o igual que 245. La respuesta es
Paso 5.. 45 × 5 = 225, mientras que 46 × 6 = 276.
Paso 6. Continúe usando los números de "espacios en blanco" para encontrar su respuesta
Continúe con el patrón de división de apilamiento largo hasta que la diferencia entre las restas de los números que se derivan sea cero, o se haya obtenido un número bastante preciso. Cuando termines, los números que usaste para completar los espacios en blanco en cada paso (más el primer número que usaste) forman cada dígito de tu respuesta.
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En el problema de ejemplo, reste 245 por 220 para obtener 20. A continuación, reduciremos el siguiente grupo de dígitos, 00, y obtendremos 2000. Multiplicamos el número sobre el símbolo radical y obtenemos 25 × 2 = 50. Para completar en los espacios en blanco en 50_ × _ = / <2, 000, obtenemos el número
Paso 3.. Ahora, tenemos "253" encima del símbolo radical; repita este proceso nuevamente y obtenga 9 en el siguiente dígito.
Paso 7. Elimina el signo decimal del origen
Para obtener la respuesta final, coloque el punto decimal en la posición correcta. Es fácil: simplemente coloque el punto decimal en línea con el punto decimal debajo del símbolo del radical. Por ejemplo, el número debajo del radical es 49, 8, así que coloque un punto decimal entre los números por encima del 8 y el 9.
En el problema de ejemplo, si el número debajo del radical es 6, 45, entonces el punto decimal estará en línea entre los dígitos 2 y 5. Esto significa que la respuesta final es 2, 539.
Parte 3 de 3: Calcule rápidamente cuadrados imperfectos
Paso 1. Encuentra el cuadrado imperfecto usando una aproximación
Una vez que haya memorizado los cuadrados perfectos, será mucho más fácil encontrar cuadrados imperfectos. El truco consiste en encontrar un cuadrado perfecto antes y después del número que estás buscando. Luego, determina cuál de los dos cuadrados perfectos está más cerca del número que estás buscando.
Por ejemplo, queremos encontrar la raíz cuadrada de 40. El número cuadrado perfecto antes y después de 40 es 62 y 72, que es 36 y 49. Dado que 40 es mayor que 36 y menor que 49, la raíz cuadrada de 40 debe estar entre 6 y 7. El número 40 está más cerca de 36 que de 49, por lo que la raíz cuadrada de 40 está más cerca de 6 A continuación, se indican algunos pasos para encontrar una respuesta precisa.
Paso 2. Estima la raíz cuadrada a un dígito después de la coma
Cuando haya determinado dos números cuadrados perfectos antes y después del número que está buscando, el resto es el proceso de encontrar el número detrás de la coma más cercano a la respuesta. Comience con el número estimado de un dígito después de la coma. Este proceso se repetirá hasta que obtenga una respuesta con la precisión que desea.
En el problema de ejemplo, la aproximación razonable de la raíz cuadrada de 40 es 6, 4, porque lo más probable es que la respuesta esté más cerca de 6 que de 7.
Paso 3. Multiplique su número estimado por el número en sí
En otras palabras, eleva al cuadrado tu número aproximado. Si tiene suerte, el resultado será el número del problema. De lo contrario, sigue sumando o restando los números después de la coma hasta que encuentres el cuadrado más cercano al número del problema.
- Multiplica 6, 4 por 6, 4 para obtener 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, que está ligeramente por encima de 40.
- Dado que el experimento inicial fue redundante, reste su aproximación por un lugar decimal, que es 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Este resultado está ligeramente por debajo del número del problema. Esto significa que la raíz cuadrada de 40 está entre 6, 3 y 6, 4. Entonces, dado que 39.69 está más cerca de 40, la raíz cuadrada de 40 también está más cerca de 6, 3.
Paso 4. Proyección anticipada según sea necesario
Use su respuesta si cree que es lo suficientemente precisa. Pero si no, simplemente continúe con el patrón aproximado anterior hasta que encuentre una respuesta con tres o cuatro dígitos después de la coma; de todos modos, hasta que alcance el nivel de precisión que desea.
