Una ecuación racional es una fracción con una o más variables en el numerador o denominador. Una ecuación racional es cualquier fracción que involucra al menos una ecuación racional. Al igual que las ecuaciones algebraicas ordinarias, las ecuaciones racionales se resuelven realizando la misma operación en ambos lados de la ecuación hasta que las variables se puedan transferir a cualquier lado de la ecuación. Dos técnicas especiales, la multiplicación cruzada y la búsqueda del mínimo común denominador, son formas muy útiles de mover variables y resolver ecuaciones racionales.
Paso
Método 1 de 2: multiplicación cruzada
Paso 1. Si es necesario, reorganice su ecuación para obtener una fracción en un lado de la ecuación
La multiplicación cruzada es una forma rápida y fácil de resolver ecuaciones racionales. Desafortunadamente, este método solo se puede usar para ecuaciones racionales que contienen al menos una ecuación racional o fracción en cada lado de la ecuación. Si su ecuación no cumple con estos requisitos de productos cruzados, es posible que deba usar operaciones algebraicas para mover las partes a los lugares correctos.
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Por ejemplo, la ecuación (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 se puede poner fácilmente en forma de producto cruzado sumando x / (- 2) a ambos lados de la ecuación, de modo que se convierta en (x + 3) / 4 = x / (- 2).
Tenga en cuenta que los números enteros y decimales se pueden convertir en fracciones dando el denominador 1. (x + 3) / 4 - 2, 5 = 5, por ejemplo, se puede reescribir como (x + 3) / 4 = 7, 5 / 1, lo que hace que satisfaga la condición de multiplicación cruzada
- Algunas ecuaciones racionales no se pueden reducir fácilmente a una forma que tenga una fracción o ecuación racional en cada lado. En tales casos, utilice el mismo enfoque de mínimo denominador.
Paso 2. Multiplica en cruz
Multiplicación cruzada significa multiplicar uno de los numeradores de una fracción por el denominador de otra fracción y viceversa. Multiplica el numerador de la fracción de la izquierda por el denominador de la fracción de la derecha. Repita con el denominador derecho con el denominador izquierdo.
La multiplicación cruzada funciona de acuerdo con principios algebraicos básicos. Las ecuaciones racionales y otras fracciones se pueden convertir en no fracciones multiplicándolas por el denominador. El producto cruzado es básicamente una forma rápida de multiplicar ambos lados de una ecuación por ambos denominadores. ¿No creen? Pruébelo: obtendrá el mismo resultado después de simplificarlo
Paso 3. Haga que los dos productos sean iguales entre sí
Después de la multiplicación cruzada, obtendrás dos resultados de multiplicación. Hazlos iguales entre sí y simplifica para que la ecuación sea lo más simple posible.
Por ejemplo, si su ecuación racional original era (x + 3) / 4 = x / (- 2), después de la multiplicación cruzada, su nueva ecuación se convierte en -2 (x + 3) = 4x. Si lo desea, también puede escribirlo como -2x - 6 = 4x
Paso 4. Encuentra el valor de tu variable
Usa operaciones algebraicas para encontrar el valor de la variable de tu ecuación. Recuerde que, si x aparece en ambos lados de la ecuación, debe sumar o restar x de ambos lados de la ecuación para dejar x solo en un lado de la ecuación.
En nuestro ejemplo, podemos dividir ambos lados de la ecuación por -2, entonces x + 3 = -2x. Restar x de ambos lados da 3 = -3x. Finalmente, al dividir ambos lados por -3, el resultado se convierte en -1 = x, que se puede escribir como x = -1. Encontramos el valor de x, resolviendo nuestra ecuación racional
Método 2 de 2: Encontrar el mínimo común denominador
Paso 1. Conoce el tiempo exacto para usar el mismo denominador más pequeño
El mismo denominador más pequeño se puede usar para simplificar ecuaciones racionales, haciéndolas buscables para valores variables. Encontrar el mínimo común denominador es una buena idea si su ecuación racional no se puede escribir fácilmente en términos de una fracción (y solo una fracción) en cada lado de la ecuación. Para resolver ecuaciones racionales con tres o más partes, el mínimo común denominador es útil. Sin embargo, para resolver una ecuación racional con solo dos partes, es más rápido usar el producto cruzado.
Paso 2. Verifica el denominador de cada fracción
Identifica el número más pequeño que cada denominador puede dividir y produce un número entero. Este número es el mínimo común denominador de tu ecuación.
- A veces, el denominador común más pequeño, es decir, el número más pequeño que tiene todos los factores en el denominador, es claramente visible. Por ejemplo, si su ecuación es x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, no es difícil ver el número más pequeño que tiene un factor de 3, 2 y 6, que es el número 6.
- Sin embargo, a menudo, el mínimo común denominador de una ecuación racional no es claramente visible. En un caso como este, intente verificar los múltiplos del denominador más grande hasta que encuentre un número que tenga un factor de todos los demás denominadores más pequeños. A menudo, el mínimo común denominador es el producto de dos denominadores. Por ejemplo, en la ecuación x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, el mínimo denominador común es 8 * 9 = 72.
- Si uno o más de los denominadores de su fracción tienen variables, este proceso es más difícil, pero se puede realizar. En un caso como este, el mínimo común denominador es una ecuación (con una variable) que es divisible por todos los demás denominadores. Por ejemplo, en la ecuación 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), el mínimo denominador común es 3x (x-1) porque cualquier denominador puede dividirlo; dividir por (x-1) da 3x, dividir por 3x da (x-1), y dividir por x da 3 (x-1).
Paso 3. Multiplica cada fracción en la ecuación racional por 1
Multiplicar cada parte por 1 parece inútil. Pero aquí está el truco. 1 se puede definir como cualquier número que sea igual tanto en el numerador como en el denominador, como -2/2 y 3/3, que es la forma correcta de escribir 1. Este método aprovecha la definición alternativa. Multiplica cada fracción en tu ecuación racional por 1, anotando el número 1 que cuando se multiplica por el denominador da el mínimo común denominador.
- En nuestro ejemplo básico, multiplicaremos x / 3 por 2/2 para obtener 2x / 6 y multiplicaremos 1/2 por 3/3 para obtener 3/6. 2x + 1/6 ya tiene el mismo denominador más pequeño, que es 6, por lo que podemos multiplicarlo por 1/1 o dejarlo solo.
- En nuestro ejemplo con una variable en el denominador de la fracción, el proceso es un poco más complicado. Dado que nuestro denominador más pequeño es 3x (x-1), multiplicamos cada ecuación racional por algo que devuelva 3x (x-1). Multiplicaremos 5 / (x-1) por (3x) / (3x) lo que da 5 (3x) / (3x) (x-1), multiplicaremos 1 / x por 3 (x-1) / 3 (x- 1) que da 3 (x-1) / 3x (x-1), y multiplicar 2 / (3x) por (x-1) / (x-1) da 2 (x-1) / 3x (x- 1).
Paso 4. Simplifica y encuentra el valor de x
Ahora, dado que cada parte de su ecuación racional tiene el mismo denominador, puede eliminar el denominador de su ecuación y resolver el numerador. Multiplica ambos lados de la ecuación para obtener el valor del numerador. Luego, usa operaciones algebraicas para encontrar el valor de x (o cualquier variable que quieras resolver) en un lado de la ecuación.
- En nuestro ejemplo básico, después de multiplicar todas las partes por la forma alternativa 1, obtenemos 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Se pueden sumar dos fracciones si tienen el mismo denominador, por lo que podemos simplificar esta ecuación a (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 sin cambiar el valor. Multiplica ambos lados por 6 para quitar el denominador, por lo que el resultado es 2x + 3 = 3x + 1. Reste 1 de ambos lados para obtener 2x + 2 = 3x, y reste 2x de ambos lados para obtener 2 = x, que se puede escribir como x = 2.
- En nuestro ejemplo con una variable en el denominador, nuestra ecuación después de multiplicar por 1 se convierte en 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3 veces (x-1). Multiplicar todas las partes por el mismo denominador más pequeño, lo que nos permite omitir el denominador, se convierte en 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Esto también se aplica a 5x = 3x - 3 + 2x -2, que se simplifica a 15x = x - 5. Restar x de ambos lados da 14x = -5, que, al final, se simplifica ax = -5/14.
Consejos
- Cuando hayas resuelto la variable, verifica tu respuesta insertando el valor de la variable en la ecuación original. Si el valor de su variable es correcto, puede simplificar su ecuación original en una declaración simple que siempre es igual a 1 = 1.
- Tenga en cuenta que puede escribir cualquier polinomio como una ecuación racional; ponlo encima del denominador 1. Entonces x + 3 y (x + 3) / 1 tienen el mismo valor, pero la segunda ecuación se puede clasificar como una ecuación racional porque está escrita como una fracción.
