Cómo encontrar el dominio y el rango de funciones: 14 pasos (con imágenes)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificación: 2023-12-16 11:06

Cada función tiene dos variables, a saber, la variable independiente y la variable dependiente. Literalmente, el valor de la variable dependiente "depende" de la variable independiente. Por ejemplo, en la función y = f (x) = 2 x + y, x es la variable independiente e y es la variable dependiente (en otras palabras, y es una función de x). Los valores válidos para la variable conocida x se denominan "dominios de origen". Los valores válidos para la variable y conocida se denominan "rango de resultados".

Paso

Parte 1 de 3: Encontrar el dominio de una función

Paso 1. Decide qué tipo de función vas a realizar

El dominio de la función son todos los valores de x (eje horizontal) que devolverán valores de y válidos. La ecuación de la función puede ser cuadrática, fracción o contener una raíz. Para calcular el dominio de la función, lo primero que debe hacer es examinar las variables en la ecuación.

• Una función cuadrática tiene la forma ax² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4
• Ejemplos de funciones con fracciones incluyen: f (x) = (¹/_X), f (x) = ^{(x + 1)}/_{(x - 1)}, y otros.
• Las funciones que tienen raíces incluyen: f (x) = x, f (x) = (x² + 1), f (x) = -x, etc.

Paso 2. Escriba el dominio con la notación adecuada

Escribir el dominio de una función implica usar corchetes [,] así como corchetes (,). Use corchetes [,] si el número pertenece al dominio y use corchetes (,) si el dominio no incluye el número. La letra U denota una unión que conecta partes del dominio que pueden estar separadas por una distancia.

• Por ejemplo, el dominio de [-2, 10) U (10, 2] incluye -2 y 2, pero no incluye el número 10.
• Utilice siempre paréntesis () si está utilizando el símbolo de infinito,.

Paso 3. Dibuja una gráfica de la ecuación cuadrática

Las ecuaciones cuadráticas producen un gráfico parabólico que se abre hacia arriba o hacia abajo. Considerando que la parábola continuará infinita en el eje x, el dominio de la mayoría de las ecuaciones cuadráticas son todos los números reales. Dicho de otra manera, una ecuación cuadrática incluye todos los valores de x en la recta numérica, dando el dominio R (símbolo para todos los números reales).

• Para resolver la función, elija cualquier valor de x e introdúzcalo en la función. Resolver una función con un valor de x devolverá un valor de y. Los valores de xey son las coordenadas (x, y) de una gráfica de la función.
• Trace estas coordenadas en un gráfico y repita el proceso con otro valor de x.
• Trazar algunos de los valores en este modelo le dará una descripción general de la forma de la función cuadrática.

Paso 4. Si la ecuación de la función es una fracción, haz que el denominador sea igual a cero

Cuando trabajas con fracciones, nunca puedes dividir por cero. Al hacer que el denominador sea igual a cero y encontrar el valor de x, puede calcular los valores para extraer de la función.

• Por ejemplo: Determine el dominio de la función f (x) = ^{(x + 1)}/_{(x - 1)}.
• El denominador de la función es (x - 1).
• Haga que el denominador sea igual a cero y calcule el valor de x: x - 1 = 0, x = 1.
• Anote el dominio: El dominio de la función no incluye 1, pero incluye todos los números reales excepto 1; por lo tanto, el dominio es (-∞, 1) U (1,).
• (-∞, 1) U (1,) se puede leer como una colección de todos los números reales excepto 1. El símbolo de infinito,, representa todos los números reales. En este caso, todos los números reales mayores que 1 y menores que 1 se incluyen en el dominio.

Paso 5. Si la ecuación es una función raíz, haga que las variables raíz sean mayores o iguales a cero

No puedes usar la raíz cuadrada de un número negativo; por lo tanto, cualquier valor de x que conduzca a un número negativo debe eliminarse del dominio de la función.

• Por ejemplo: Encuentre el dominio de la función f (x) = (x + 3).
• Las variables de la raíz son (x + 3).
• Haga que el valor sea mayor o igual a cero: (x + 3) 0.
• Calcula el valor de x: x -3. Resuelve para x: x -3.
• El dominio de la función incluye todos los números reales mayores o iguales a -3; por lo tanto, el dominio es [-3,).

Parte 2 de 3: Encontrar el rango de una ecuación cuadrática

Paso 1. Asegúrese de tener una función cuadrática

La función cuadrática tiene la forma ax² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4. La gráfica de la función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. Hay diferentes formas de calcular el rango de la función según el tipo de función en la que esté trabajando.

La forma más fácil de determinar el rango de otras funciones, como una función de raíz o una función de fracción, es graficar la función usando una calculadora gráfica

Paso 2. Encuentra el valor x del vértice de la función

El vértice de una función cuadrática es el vértice de la parábola. Recuerde, la forma de la función cuadrática es ax² + bx + c. Para encontrar la coordenada x, use la ecuación x = -b / 2a. La ecuación es una derivada de una función cuadrática básica que representa una ecuación con pendiente / pendiente cero (en el vértice del gráfico, el gradiente de la función es cero).

• Por ejemplo, encuentre el rango de 3x² + 6x -2.
• Calcula la coordenada x del vértice: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1

Paso 3. Calcula el valor y del vértice de la función

Reemplaza la coordenada x en la función para calcular el valor y correspondiente del vértice. Este valor y indica el límite del rango de la función.

• Calcule la coordenada y: y = 3x² + 6x - 2 = 3 (-1)² + 6(-1) -2 = -5.
• El vértice de esta función es (-1, -5).

Paso 4. Determina la dirección de la parábola insertando al menos un valor x más

Elija cualquier otro valor de x y conéctelo a la función para calcular el valor de y apropiado. Si el valor de y está por encima del vértice, la parábola continúa en + ∞. Si el valor de y está por debajo del vértice, la parábola continuará en -∞.

• Utilice el valor de x -2: y = 3x² + 6x - 2 = y = 3 (-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
• Este cálculo devuelve las coordenadas (-2, -2).
• Estas coordenadas le muestran que la parábola continúa por encima del vértice (-1, -5); por lo tanto, el rango incluye todos los valores de y superiores a -5.
• El rango de esta función es [-5,).

Paso 5. Anote el rango con la notación adecuada

Al igual que los dominios, los rangos se escriben con la misma notación. Use corchetes [,] si el número está en el rango y use corchetes (,) si el rango no incluye el número. La letra U indica una unión que conecta partes del rango que pueden estar separadas por una distancia.

• Por ejemplo, el rango de [-2, 10) U (10, 2] incluye -2 y 2, pero no incluye el número 10.
• Utilice siempre paréntesis si utiliza el símbolo de infinito,.

Parte 3 de 3: Encontrar el rango a partir de la gráfica de una función

Paso 1. Dibuja la función

A menudo, la forma más sencilla de determinar el rango de una función es graficarla. Muchas funciones raíz tienen un rango (-∞, 0] o [0, + ∞) porque el vértice de la parábola horizontal (parábola lateral) está en el eje x horizontal. En este caso, la función incluye todos los valores y positivos si la parábola se abre, o todos los valores y negativos si la parábola se abre hacia abajo. Las funciones fraccionarias tendrán asíntotas (líneas que nunca son cortadas por una línea recta / curva pero que se acercan al infinito) que definen el rango de la función.

• Algunas funciones raíz comenzarán por encima o por debajo del eje x. En este caso, el rango está determinado por el número donde comienza la función raíz. Si la parábola comienza en y = -4 y aumenta, entonces el rango es [-4, + ∞).
• La forma más sencilla de dibujar una función es utilizar un programa gráfico o una calculadora gráfica.
• Si no tiene una calculadora gráfica, puede dibujar un bosquejo aproximado de la gráfica conectando el valor de x en la función y obteniendo el valor de y apropiado. Trace estas coordenadas en un gráfico para tener una idea de cómo se ve el gráfico.

Paso 2. Encuentra el valor mínimo de la función

Inmediatamente después de dibujar la función, debería poder ver claramente el punto más bajo del gráfico. Si no hay un valor mínimo claro, sepa que algunas funciones continuarán en -∞ (infinito).

Una función de fracción incluirá todos los puntos excepto los de las asíntotas. La función tiene un rango como (-∞, 6) U (6,)

Paso 3. Determine el valor máximo de la función

Nuevamente, después de dibujar el gráfico, debería poder identificar el punto máximo de la función. Algunas funciones continuarán en + ∞ y por lo tanto, no tendrán un valor mínimo.

Paso 4. Escriba el rango con la notación adecuada

Al igual que los dominios, los rangos se escriben con la misma notación. Use corchetes [,] si el número está en el rango y use corchetes (,) si el rango no incluye el número. La letra U indica una unión que conecta partes del rango que pueden estar separadas por una distancia.

• Por ejemplo, el rango de [-2, 10) U (10, 2] incluye -2 y 2, pero no incluye el número 10.
• Utilice siempre paréntesis si utiliza el símbolo de infinito,.