Cómo derivar funciones implícitas: 7 pasos (con imágenes)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificación: 2024-01-19 22:12

En cálculo, cuando tienes una ecuación para y escrita en la forma x (por ejemplo, y = x² -3x), es fácil utilizar técnicas de derivación básicas (denominadas por los matemáticos como técnicas de derivada de función implícita) para encontrar la derivada. Sin embargo, para ecuaciones que son difíciles de construir con solo el término y en un lado del signo igual (por ejemplo, x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), se necesita un enfoque diferente. Con una técnica llamada derivadas de funciones implícitas, es fácil encontrar derivadas de ecuaciones multivariables siempre que conozca los conceptos básicos de las derivadas de funciones explícitas.

Paso

Método 1 de 2: Derivación rápida de ecuaciones simples

Paso 1. Derive los términos x como de costumbre

Al intentar derivar una ecuación multivariable como x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, puede ser difícil saber por dónde empezar. Afortunadamente, el primer paso de la derivada de una función implícita es el más fácil. Simplemente derive los términos xy las constantes en ambos lados de la ecuación de acuerdo con las reglas de las derivadas ordinarias (explícitas) para empezar. Ignore los términos y por el momento.

• Intentemos derivar un ejemplo de la ecuación simple anterior. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 tiene dos términos x: x² y -5x. Si queremos derivar una ecuación, primero tenemos que hacer esto, así:

  X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Reducir a la potencia de 2 en x² como coeficiente, elimine x en -5x y cambie 19 a 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Paso 2. Derive los términos y y agregue (dy / dx) al lado de cada término

Para su próximo paso, simplemente derive los términos y de la misma manera que derivó los términos x. Esta vez, sin embargo, agregue (dy / dx) junto a cada término como agregaría coeficientes. Por ejemplo, si reduce y², entonces la derivada se convierte en 2y (dy / dx). Ignore los términos que tienen xey por el momento.

• En nuestro ejemplo, nuestra ecuación ahora se ve así: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Realizaremos el siguiente paso de derivar y de la siguiente manera:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Reducir a la potencia de 2 en y² como coeficientes, elimine y en 8y y coloque dy / dx junto a cada término).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Paso 3. Usa la regla del producto o la regla del cociente para términos que tengan x e y

Trabajar con términos que tienen xey es un poco complicado, pero si conoce las reglas para el producto y el cociente para las derivadas, lo encontrará fácil. Si los términos xey se multiplican, utilice la regla del producto ((f × g) '= f' × g + g × f '), sustituyendo el término x por f y el término y por g. Por otro lado, si los términos xey son mutuamente excluyentes, use la regla del cociente ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), sustituyendo el numerador por f y el denominador por g.

• En nuestro ejemplo, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, solo tenemos un término que tiene xey - 2xy². Dado que xey se multiplican entre sí, usaremos la regla del producto para derivar de la siguiente manera:

  2xy² = (2x) (y²) - establece 2x = f y y² = g en (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2 años² + 4xy (dy / dx)

• Agregando esto a nuestra ecuación principal, obtenemos 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Paso 4. Solo (dy / dx)

¡Ya casi terminas! Ahora, todo lo que tienes que hacer es resolver la ecuación (dy / dx). Esto parece difícil, pero generalmente no lo es; recuerde que dos términos a y b se multiplican por (dy / dx) se pueden escribir como (a + b) (dy / dx) debido a la propiedad distributiva de la multiplicación. Esta táctica puede facilitar el aislamiento (dy / dx): simplemente mueva todos los demás términos al otro lado del paréntesis, luego divídalos por los términos entre paréntesis junto a (dy / dx).

• En nuestro ejemplo, simplificamos 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 como sigue:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Método 2 de 2: uso de técnicas avanzadas

Paso 1. Ingrese el valor (x, y) para encontrar (dy / dx) para cualquier punto

¡A salvo! Ya ha derivado su ecuación implícitamente, ¡no es un trabajo fácil en el primer intento! Usar esta ecuación para encontrar el gradiente (dy / dx) para cualquier punto (x, y) es tan fácil como reemplazar los valores xey para su punto en el lado derecho de la ecuación, luego encontrar (dy / dx).

• Por ejemplo, suponga que queremos encontrar el gradiente en el punto (3, -4) para nuestra ecuación de ejemplo anterior. Para hacerlo, sustituiremos x por 3 y y por -4, resolviendo de la siguiente manera:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, o 0, 6875.

Paso 2. Utilice la regla de la cadena para funciones dentro de funciones

La regla de la cadena es un conocimiento importante que se debe tener cuando se trabaja en problemas de cálculo (incluidos los problemas derivados de funciones implícitas). La regla de la cadena establece que para una función F (x) que se puede escribir como (f o g) (x), la derivada de F (x) es igual a f '(g (x)) g' (x). Para problemas de derivadas de funciones implícitas difíciles, esto significa que es posible derivar las diferentes partes individuales de la ecuación y luego combinar los resultados.

• Como ejemplo simple, suponga que tenemos que encontrar la derivada de sin (3x² + x) como parte del problema de derivada de función implícita más grande para la ecuación sin (3x² + x) + y³ = 0. Si imaginamos pecado (3x² + x) como f (x) y 3x² + x como g (x), podemos encontrar la derivada de la siguiente manera:

  f '(g (x)) g' (x)

  (pecado (3x² + x)) '× (3 veces² + x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² + x)

Paso 3. Para ecuaciones con las variables x, y y z, encuentre (dz / dx) y (dz / dy)

Aunque es inusual en cálculo básico, algunas aplicaciones avanzadas pueden requerir la derivación de funciones implícitas de más de dos variables. Para cada variable adicional, debes encontrar su derivada adicional con respecto a x. Por ejemplo, si tiene x, y y z, debe buscar tanto (dz / dy) como (dz / dx). Podemos hacer esto derivando la ecuación con respecto a x dos veces: primero, ingresaremos (dz / dx) cada vez que derivemos un término que contenga z, y segundo, insertaremos (dz / dy) cada vez que derivemos z. Después de esto, solo es cuestión de resolver (dz / dx) y (dz / dy).

• Por ejemplo, digamos que estamos tratando de derivar x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Primero, derivemos contra x e ingresemos (dz / dx). ¡No olvide aplicar la regla del producto si es necesario!

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3 veces²z² + 2x³z (dz / dx) - 5 años⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3 veces²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5 años⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5 años⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5 años⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Ahora, haz lo mismo para (dz / dy)

  X³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3 años²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3 años² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)