Todos los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto (90 grados) y la hipotenusa es el lado opuesto a ese ángulo. La hipotenusa es el lado más largo del triángulo, y también es muy fácil encontrarlo usando diferentes formas. Este artículo te enseñará cómo encontrar la longitud de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras si conoces las longitudes de los otros dos lados del triángulo. A continuación, este artículo le enseñará cómo identificar la hipotenusa de algunos triángulos rectángulos especiales que aparecen con frecuencia en los exámenes. Finalmente, este artículo le enseñará cómo encontrar la longitud de la hipotenusa usando la Ley del Seno si solo conoce la longitud de un lado y la medida de un ángulo que no sea un ángulo recto.
Paso
Método 1 de 3: Uso del teorema de Pitágoras
Paso 1. Aprenda el teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras describe la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Este teorema establece que para cualquier triángulo rectángulo con lados a lo largo de ayb, y una hipotenusa a lo largo de c, a2 + b2 = c2.
Paso 2. Asegúrate de que tu triángulo sea un triángulo rectángulo
El teorema de Pitágoras se aplica solo a los triángulos rectángulos y, por definición, solo los triángulos rectángulos tienen hipotenusa. Si su triángulo tiene un ángulo de exactamente 90 grados, es un triángulo rectángulo y puede seguir adelante.
Los ángulos rectos a menudo se indican en los libros de texto y los exámenes mediante un pequeño cuadrado en la esquina de la esquina. Este signo en particular significa "90 grados"
Paso 3. Asigna las variables a, byc a los lados de tu triángulo
La variable "c" siempre se asignará a la hipotenusa, o lado más largo. Elija uno de los otros lados para que sea "a" y llame al otro lado "b" (no importa qué lado sea a o b; el cálculo seguirá siendo el mismo). Luego, inserta las longitudes de ayb en la fórmula, de acuerdo con el siguiente ejemplo:
Si tu triángulo tiene lados de longitudes 3 y 4, y has asignado las letras a los lados para que a = 3 y b = 4, escribirías tu ecuación como: 32 + 42 = c2.
Paso 4. Halla el cuadrado de ay b
Para encontrar el cuadrado de un número, simplemente multiplique el número por sí mismo, de modo que a2 = a x a. Encuentra los cuadrados de ayb, y colócalos en tu fórmula.
- Si a = 3, a2 = 3 x 3, o 9. Si b = 4, b2 = 4 x 4, o 16.
- Cuando conecte esos valores en su ecuación, su ecuación ahora debería verse así: 9 + 16 = c2.
Paso 5. Sume los valores de un2 y B2.
Inserta la suma en tu ecuación y esto te dará el valor de c2. ¡Solo queda un paso y resolverás la hipotenusa!
En nuestro ejemplo, 9 + 16 = 25, entonces tu escribirias 25 = c2.
Paso 6. Encuentra la raíz cuadrada de c2.
Use la función de raíz cuadrada en su calculadora (o memoria o su tabla de multiplicar) para encontrar la raíz cuadrada de c2. ¡La respuesta es la longitud de su hipotenusa!
En nuestro ejemplo, C2 = 25. La raíz cuadrada de 25 es 5 (5 x 5 = 25, asi que Raíz (25) = 5). Significa, c = 5, la longitud de nuestra hipotenusa!
Método 2 de 3: Encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo especial
Paso 1. Aprende a reconocer triángulos con el triple de Pitágoras
Las longitudes de los lados del triple de Pitágoras son números enteros según el Teorema de Pitágoras. Estos triángulos especiales a menudo aparecen en libros de texto de geometría y exámenes estandarizados como la ONU. Si recuerdas especialmente los 2 primeros triples pitagóricos, puedes ahorrar mucho tiempo en estas pruebas porque descubrirás rápidamente la hipotenusa de uno de estos triángulos con solo mirar las longitudes de los lados.
- El primer triple pitagórico fue 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Cuando vea un triángulo rectángulo con catetos de longitud 3 y 4, inmediatamente creerá que su hipotenusa es 5 sin tener que hacer ningún cálculo.
-
La relación triple pitagórica es válida incluso si los lados se multiplican por otro número. Por ejemplo, un triángulo rectángulo con longitud de cateto
Paso 6. da
Paso 8. tendrá una hipotenusa
Paso 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). Lo mismo va para 9-12-15, e incluso 1, 5-2-2, 5. ¡Pruebe los cálculos y compruébelo usted mismo!
- El segundo triple pitagórico que aparece con frecuencia en los exámenes es 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). También preste atención a los múltiplos como 10-24-26 y 2, 5-6-6, 5.
Paso 2. Recuerda la razón de los lados de un triángulo rectángulo 45-45-90
Un triángulo rectángulo 45-45-90 tiene ángulos de 45, 45 y 90 grados, y también se llama triángulo rectángulo isósceles. Este triángulo aparece con frecuencia en los exámenes estandarizados y es un triángulo muy fácil de resolver. La razón de los lados de este triángulo es 1: 1: Raíz (2), lo que significa que la longitud de los catetos es la misma y la longitud de la hipotenusa es simplemente la longitud de los catetos multiplicada por la raíz cuadrada de dos.
- Para calcular la hipotenusa de este triángulo según la longitud de uno de sus catetos, simplemente multiplique la longitud del cateto por Sqrt (2).
- Conocer estas comparaciones es útil, especialmente cuando las preguntas de su examen o tarea dan las longitudes de los lados como variables en lugar de números enteros.
Paso 3. Estudia las razones de los lados de un triángulo rectángulo 30-60-90
Estos triángulos tienen medidas de ángulo de 30, 60 y 90 grados, y ocurren cuando cortas un triángulo equilátero por la mitad. Los lados de un triángulo rectángulo 30-60-90 siempre tienen la razón 1: Raíz (3): 2, o x: Raíz (3) x: 2x. Si le dieran la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo 30-60-90 y le pidieran que encontrara la hipotenusa, este problema sería muy fácil de resolver:
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Si le dan la longitud del cateto más corto (opuesto en un ángulo de 30 grados), simplemente multiplique la longitud del cateto por 2 para encontrar la longitud de la hipotenusa. Por ejemplo, si la longitud de la pierna más corta es
Paso 4., sabes que la longitud de la hipotenusa debe ser
Paso 8..
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Si le dan la longitud del cateto más largo (opuesto a un ángulo de 60 grados), multiplique esa longitud por 2 / Raíz (3) para encontrar la longitud de la hipotenusa. Por ejemplo, si la longitud del cateto más largo es
Paso 4., sabes que la longitud de la hipotenusa definida es 4, 62.
Método 3 de 3: Encontrar la hipotenusa usando la ley del seno
Paso 1. Comprender el significado de "Sine"
Los términos "seno", "coseno" y "tangente" se refieren a las diversas relaciones entre los ángulos y / o lados de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, seno un ángulo se define como la longitud del lado opuesto al ángulo dividido por hipotenusa triangular. La abreviatura de seno en ecuaciones y calculadoras es pecado.
Paso 2. Aprenda a calcular el seno
Incluso las calculadoras científicas básicas tienen una función sinusoidal. Busque el botón que dice pecado. Para encontrar el seno de un ángulo, generalmente presionas la tecla pecado y luego ingrese la medida del ángulo en grados. Sin embargo, en algunas calculadoras, primero debe ingresar la medida del ángulo y luego presionar el botón pecado. Tendrá que experimentar con su calculadora o consultar el manual para averiguar qué método utilizar.
- Para encontrar el seno de un ángulo de 80 grados, debe ingresar pecado 80 seguido de un signo igual o Enter, o 80 pecado. (La respuesta es -0, 9939.)
- También puede escribir "calculadora sinusoidal" en una búsqueda web y buscar algunas calculadoras fáciles de usar, que eliminarán cualquier conjetura.
Paso 3. Aprenda la ley del seno
La ley de los senos es una herramienta útil para resolver triángulos. En particular, esta ley puede ayudarte a encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de un lado y la medida de un ángulo que no sea ese ángulo recto. Para cualquier triángulo con lados a, B, y Cy ángulos A, B, y C, la Ley del seno establece que a / pecado A = b / pecado B = c / sin C.
La ley de los senos se puede usar para resolver cualquier triángulo, pero solo los triángulos rectángulos tienen hipotenusa
Paso 4. Asigna las variables a, byc a los lados de tu triángulo
La hipotenusa (lado más largo) debe ser "c". Por conveniencia, etiquete "a" para el lado de longitud conocida y etiqueta "b" para el otro lado. El ángulo recto opuesto a la hipotenusa es "C". El ángulo del lado opuesto "a" es el ángulo "A" y el ángulo del lado opuesto "b" es "B".
Paso 5. Calcula la medida del tercer ángulo
Como es un ángulo recto, ya sabemos que C = 90 grados, y también conoces las medidas A o B. Dado que la medida del grado interior de un triángulo siempre es igual a 180 grados, puede calcular fácilmente la medida de los ángulos de los tres usando la fórmula: 180 - (90 + A) = B. También puede invertir la ecuación para 180 - (90 + B) = A.
Por ejemplo, si sabes que A = 40 grados, B = 180 - (90 + 40). Simplifica esto a B = 180 - 130y puede determinar rápidamente que B = 50 grados.
Paso 6. Revisa tu triángulo
En este paso, ya conoce las medidas de los tres ángulos y la longitud del lado a. Ahora es el momento de introducir esta información en las ecuaciones de la Ley de los senos para determinar las longitudes de los otros dos lados.
Para continuar con nuestro ejemplo, digamos que la longitud del lado a = 10. Ángulo C = 90 grados, ángulo A = 40 grados y ángulo B = 50 grados
Paso 7. Aplica la ley del seno a tu triángulo
Solo necesitamos insertar nuestros números y resolver la siguiente ecuación para encontrar la longitud de la hipotenusa c: longitud del lado a / sin A = longitud del lado c / sin C. Esta ecuación puede parecer un poco aterradora, pero el seno de 90 grados es siempre el mismo, ¡y siempre es igual a 1! Por lo tanto, nuestra ecuación se puede simplificar a: a / sen A = c / 1, o solo a / sin A = c.
Paso 8. Divide la longitud del lado a con el seno del ángulo ¡A para encontrar la longitud de la hipotenusa!
Puede encontrarlo en dos pasos separados, primero calculando sin A y escribiendo el resultado, luego dividiendo por a. O puede ingresar todo en la calculadora al mismo tiempo. Si está usando una calculadora, recuerde poner el paréntesis después del signo de división. Por ejemplo, ingrese 10 / (pecado 40) o 10 / (40 pecado), dependiendo de su calculadora.
