3 formas de factorizar un trinomio

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificación: 2024-01-15 08:13

Un trinomio es una expresión algebraica que consta de tres términos. Lo más probable es que empieces a aprender a factorizar un trinomio cuadrático, es decir, un trinomio escrito en la forma ax² + bx + c. Hay algunos trucos para aprender, que se pueden usar para muchos tipos diferentes de trinomios cuadráticos, pero podrá usarlos mejor y más rápido con la práctica. Polinomios de orden superior, con términos como x³ o x⁴, no siempre se puede resolver de la misma manera, pero a menudo se puede usar factorización simple o sustitución para convertirlo en un problema que se puede resolver como cualquier otra fórmula cuadrática.

Paso

Método 1 de 3: Factorizar x² + bx + c

Paso 1. Aprenda la multiplicación PLDT

Es posible que haya aprendido a multiplicar PLDT, o "Primero, Fuera, En, Último" para multiplicar expresiones como (x + 2) (x + 4). Es útil saber cómo funciona esta multiplicación antes de factorizar:

• Multiplica las tribus Primero: (X+2)(X+4) = X² + _

• Multiplica las tribus Fuera de: (X+2) (x +

  Paso 4.) = x²+ 4x + _

• Multiplica las tribus En: (x +

  Paso 2.)(X+4) = x²+ 4x + 2x + _

• Multiplica las tribus Final: (x +

  Paso 2.)(X

  Paso 4.) = x²+ 4x + 2x

  Paso 8.

• Simplificar: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Paso 2. Comprender la factorización

Cuando multiplicas dos binomios usando el método PLDT, obtienes un trinomio (una expresión con tres términos) en la forma a x²+ b x + c, donde a, byc son números ordinarios. Si comienza con una ecuación que tiene la misma forma, puede volver a factorizarla en dos binomios.

• Si las ecuaciones no están escritas en este orden, reorganice las ecuaciones para que tengan este orden. Por ejemplo, reescribir 3x - 10 + x² Se convierte X² + 3x - 10.
• Debido a que la potencia más alta es 2 (x², este tipo de expresión se llama cuadrática.

Paso 3. Deje un espacio en blanco para la respuesta en forma de multiplicación PLDT

Por ahora solo escribe (_ _)(_ _) donde escribirás la respuesta. Lo llenaremos mientras trabajamos en él.

No escriba + o - entre los términos vacíos porque aún no conocemos el signo correcto

Paso 4. Complete los primeros términos

Para problemas simples, el primer término de su trinomio es solo x², los términos en la primera posición son siempre X y X. Estos son los factores del término x² porque x por x = x².

• Nuestro ejemplo x² + 3x - 10 comenzando con x², entonces podemos escribir:
• (x _) (x _)
• Trabajaremos en problemas más complejos en la siguiente sección, incluidos los trinomios que comienzan con términos como 6x² o -x². Mientras tanto, siga estos ejemplos de preguntas.

Paso 5. Utilice la factorización para adivinar los últimos términos

Si regresa y lee los pasos sobre cómo multiplicar PLDT, verá que multiplicar los últimos términos producirá el último término en el polinomio (términos que no tienen x). Entonces, para factorizar, tenemos que encontrar dos números que, cuando se multiplican, producirán el último término.

• En nuestro ejemplo x² + 3x - 10, el último término es -10.
• ¿Cuáles son los factores de -10? ¿Qué número se multiplica por -10?
• Hay varias posibilidades: -1 por 10, 1 por -10, -2 por 5 o 2 por -5. Escriba estos pares en algún lugar para recordarlos.
• No cambie nuestra respuesta todavía. Nuestra respuesta aún debería verse así: (x _) (x _).

Paso 6. Pruebe las posibilidades que coinciden con el producto externo e interno

Hemos reducido los últimos términos a unas pocas posibilidades. Utilice el sistema de prueba para probar todas las posibilidades, multiplicando los términos externos e internos y comparando el producto con nuestro trinomio. Por ejemplo:

• Nuestro problema original tenía el término "x" en 3x, por lo que los resultados de nuestras pruebas deberían coincidir con este término.
• Pruebas -1 y 10: (x-1) (x + 10). Exterior + Interior = 10x - x = 9x. Incorrecto.
• Pruebas 1 y -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Esto está mal. De hecho, si prueba -1 y 10, encontrará que 1 y -10 son lo opuesto a la respuesta anterior: -9x en lugar de 9x.
• Pruebas -2 y 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. El resultado corresponde al polinomio inicial, así que aquí está la respuesta correcta: (x-2) (x + 5).
• En casos simples como este, si no tiene una constante delante del término x², puede usar la forma rápida: simplemente sume los dos factores y coloque una "x" detrás (-2 + 5 → 3x). Sin embargo, este método no funciona para problemas más complejos, por lo que es mejor recordar el "camino largo" descrito anteriormente.

Método 2 de 3: Factorizar trinomios más complejos

Paso 1. Utilice la factorización simple para simplificar los problemas más complejos

Por ejemplo, tienes que factorizar 3 veces² + 9x - 30. Encuentra un número que pueda factorizar los tres términos ("máximo factor común" o MCD). En este caso, el MCD es 3:

• 3 veces² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Por lo tanto, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Podemos factorizar el nuevo trinomio siguiendo los pasos de la sección anterior. Nuestra respuesta final será (3) (x-2) (x + 5).

Paso 2. Busque factores más complicados

A veces, la factorización puede involucrar una variable, o es posible que deba factorizar varias veces para encontrar la expresión más simple posible. Aquí hay unos ejemplos:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 años)(X² + 7x + 12)
• X⁴ + 11 veces³ - 26x² = (X²)(X² + 11x - 26)
• -X² + 6x - 9 = (-1)(X² - 6x + 9)
• No olvide refactorizar el nuevo trinomio, siguiendo los pasos del Método 1. Compruebe su trabajo y busque ejemplos de problemas similares en las preguntas de muestra que se encuentran al final de esta página.

Paso 3. Resuelve problemas con un número delante de x².

Algunos trinomios cuadráticos no pueden reducirse al tipo de problema más sencillo. Aprenda a resolver problemas como 3x² + 10x + 8, luego practique por su cuenta con las preguntas de muestra al final de esta página:

• Establezca nuestra respuesta en: (_ _)(_ _)
• Cada uno de nuestros "primeros" términos tendrá una x, y multiplicarlos da 3x². Solo hay una posibilidad: (3x _) (x _).
• Enumere los factores de 8. Las probabilidades son 1 por 8 o 2 por 4.
• Pruebe esta posibilidad utilizando los términos externos e internos. Tenga en cuenta que el orden de los factores es muy importante porque el término externo se multiplica por 3x en lugar de x. Pruebe todas las posibilidades hasta que obtenga Out + In = 10x (del problema original):
• (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x no
• (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x no
• (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x no
• (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x sí. Este es el factor correcto.

Paso 4. Utilice la sustitución de trinomios de orden superior

Tu libro de matemáticas puede sorprenderte con ecuaciones con altas potencias, como x⁴, incluso después de utilizar la factorización simple para facilitar el problema. Intente sustituir una nueva variable que la convierta en un problema que sepa cómo resolver. Por ejemplo:

• X⁵+ 13x³+ 36x
• = (x) (x⁴+ 13x²+36)
• Creemos una nueva variable. Digamos y = x² y poner en él:
• (x) (y²+ 13 años + 36)
• = (x) (y + 9) (y + 4). Ahora, conviértalo de nuevo a la variable inicial:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Método 3 de 3: Factorizar casos especiales

Paso 1. Encuentra números primos

Mire para ver si la constante en el primer o tercer término del trinomio es un número primo. Un número primo solo es divisible por sí mismo y 1, por lo que solo hay un par posible de factores binomiales.

• Por ejemplo, en x² + 6x + 5, 5 es un número primo, por lo que el binomio debe tener la forma (_ 5) (_ 1).
• En el problema de 3x²+ 10x + 8, 3 es un número primo, por lo que el binomio debe tener la forma (3x _) (x _).
• Para preguntas 3x²+ 4x + 1, tanto 3 como 1 son números primos, por lo que la única solución posible es (3x + 1) (x + 1). (Aún debe multiplicar este número para verificar su respuesta porque algunas expresiones no se pueden factorizar en absoluto, por ejemplo, 3x²+ 100x + 1 no tiene factor).

Paso 2. Averigua si el trinomio es un cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto se puede factorizar en dos binomios idénticos, y el factor generalmente se escribe como (x + 1)² y no (x + 1) (x + 1). A continuación, se muestran algunos ejemplos que suelen aparecer en las preguntas:

• X²+ 2x + 1 = (x + 1)²y x²-2x + 1 = (x-1)²
• X²+ 4x + 4 = (x + 2)²y x²-4x + 4 = (x-2)²
• X²+ 6x + 9 = (x + 3)²y x²-6x + 9 = (x-3)²
• Trinomio cuadrado perfecto en la forma a x² + bx + c siempre tiene términos ayc que son cuadrados perfectos positivos (como 1, 4, 9, 16 o 25) y un término b (positivo o negativo) que es igual a 2 (√a * √c).

Paso 3. Averigüe si un problema no tiene solución

No todos los trinomios pueden factorizarse. Si no puede factorizar un trinomio cuadrático (ax²+ bx + c), usa la fórmula cuadrática para encontrar la respuesta. Si la única respuesta es la raíz cuadrada de un número negativo, no hay una solución de número real, entonces el problema no tiene factores.

Para trinomios no cuadrados, utilice el Criterio de Eisenstein, que se describe en la sección Consejos

Respuestas y preguntas de muestra

1. Respuestas a preguntas sobre "factorización complicada".

   Estas son preguntas del paso de "factores más complicados". Hemos simplificado los problemas en otros más fáciles, así que intente resolverlos siguiendo los pasos del método 1, luego verifique su trabajo aquí:

   • (2 años) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (X²)(X² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Pruebe problemas de factorización más complejos.

   Estos problemas tienen el mismo factor en cada término, que debe tenerse en cuenta primero. Bloquee los espacios en blanco después del signo igual para ver las respuestas y verificar su trabajo:

   • 3 veces³+ 3 veces²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) bloquee el espacio en blanco para ver la respuesta
   • -5x³y²+ 30x²y²-25 años²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)

3. Practica el uso de preguntas. Estos problemas no se pueden factorizar en ecuaciones más fáciles, por lo que tendrá que encontrar la respuesta en la forma (_x + _) (_ x + _) usando prueba y error:

   • 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) bloque para ver la respuesta
   • 9 veces²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Sugerencia: es posible que desee probar más de un par de factores para 9x).

   Consejos

   • Si no puede averiguar cómo factorizar un trinomio cuadrático (ax²+ bx + c), puedes usar la fórmula cuadrática para encontrar x.

   • Si bien no necesita saber cómo hacer esto, puede usar los Criterios de Eisenstein para determinar rápidamente si un polinomio no se puede simplificar y factorizar. Este criterio se aplica a cualquier polinomio, pero es mejor utilizarlo para trinomios. Si hay un número primo p que divide los dos últimos términos de manera uniforme y satisface las siguientes condiciones, entonces el polinomio no se puede simplificar:

     • Los términos constantes (sin variables) son múltiplos de p pero no múltiplos de p².
     • El prefijo (por ejemplo, a en ax²+ bx + c) no es un múltiplo de p.
     • Por ejemplo, 14x² + 45x +51 no se puede simplificar porque hay un número primo (3) que puede ser divisible por 45 y 51, pero no por 14, y 51 no es divisible por 3².

   Advertencia

   Si bien esto es cierto para los trinomios cuadráticos, el trinomio que se puede factorizar no es necesariamente el producto de dos binomios. Por ejemplo, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).