Un polinomio contiene una variable (x) con una potencia, conocida como grado, y varios términos y / o constantes. Factorizar un polinomio significa dividir la ecuación en ecuaciones más simples que se pueden multiplicar. Esta habilidad está en Álgebra 1 en adelante, y puede ser difícil de comprender si sus habilidades matemáticas no están en este nivel.
Paso
Comienzo
Paso 1. Configure su ecuación
El formato estándar para una ecuación cuadrática es:
hacha2 + bx + c = 0
Comience ordenando los términos en su ecuación de mayor a menor potencia, como en este formato estándar. Por ejemplo:
6 + 6x2 + 13x = 0
Reordenaremos esta ecuación para que sea más fácil trabajar con ella simplemente moviendo los términos:
6x2 + 13x + 6 = 0
Paso 2. Encuentre el factor de forma usando uno de los siguientes métodos
Factorizar el polinomio da como resultado dos ecuaciones más simples que se pueden multiplicar para producir el polinomio original:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
En este ejemplo, (2x + 3) y (3x + 2) son los factores de la ecuación original, 6x2 + 13x + 6.
Paso 3. ¡Revisa tu trabajo
Multiplica los factores que tienes. Luego, combine los términos semejantes y listo. Empezar con:
(2x + 3) (3x + 2)
Probemos, multipliquemos los términos usando PLDT (primero - afuera - adentro - último), resultando en:
6x2 + 4x + 9x + 6
A partir de aquí, podemos sumar 4x y 9x porque son términos semejantes. Sabemos que nuestros factores son correctos porque obtenemos nuestra ecuación original:
6x2 + 13x + 6
Método 1 de 6: prueba y error
Si tiene un polinomio bastante simple, es posible que pueda encontrar los factores usted mismo con solo mirarlos. Por ejemplo, después de la práctica, muchos matemáticos pueden descubrir que la ecuación 4x2 + 4x + 1 tiene un factor de (2x + 1) y (2x + 1) con solo mirarlo a menudo. (Esto, por supuesto, no será fácil para polinomios más complicados). Para este ejemplo, usemos una ecuación de uso menos frecuente:
3 veces2 + 2x - 8
Paso 1. Escribe una lista de los factores del término ay del término c
Usando el formato de ecuación ax2 + bx + c = 0, identifica los términos aycy escribe los factores que tienen ambos términos. Para 3x2 + 2x - 8, que significa:
a = 3 y tiene un conjunto de factores: 1 * 3
c = -8 y tiene cuatro conjuntos de factores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 y -1 * 8.
Paso 2. Escriba dos juegos de corchetes con espacios en blanco
Completará los espacios en blanco que ha creado con constantes para cada ecuación:
(x) (x)
Paso 3. Completa los espacios en blanco delante de x con los posibles pares de factores para el valor de a
Para el término a en nuestro ejemplo, 3x2, solo hay una posibilidad para nuestro ejemplo:
(3 veces) (1x)
Paso 4. Completa los dos espacios en blanco después de x con pares de factores para la constante
Suponga que elegimos 8 y 1. Escriba en ellos:
(3 veces
Paso 8.)(
Paso 1
Paso 5. Determine el signo (más o menos) entre la variable x y el número
Dependiendo de los signos de la ecuación original, es posible buscar signos para constantes. Supongamos que llamamos a las dos constantes h y k para nuestros dos factores:
Si hacha2 + bx + c luego (x + h) (x + k)
Si hacha2 - bx - co ax2 + bx - c entonces (x - h) (x + k)
Si hacha2 - bx + c entonces (x - h) (x - k)
Para nuestro ejemplo, 3x2 + 2x - 8, los signos son: (x - h) (x + k), lo que nos da dos factores:
(3x + 8) y (x - 1)
Paso 6. Pruebe sus opciones usando la multiplicación primero en último lugar (PLDT)
La primera prueba rápida es ver si el término medio tiene al menos el valor correcto. De lo contrario, es posible que haya elegido los factores c incorrectos. Probemos nuestra respuesta:
(3x + 8) (x - 1)
Por multiplicación, obtenemos:
3 veces2 - 3x + 8x - 8
Simplificando esta ecuación sumando los términos semejantes (-3x) y (8x), obtenemos:
3 veces2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Ahora sabemos que debemos haber utilizado los factores incorrectos:
3 veces2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Paso 7. Cambie su selección si es necesario
En nuestro ejemplo, intentemos 2 y 4 en lugar de 1 y 8:
(3x + 2) (x - 4)
Ahora nuestro término c es -8, pero nuestro producto exterior / interior (3x * -4) y (2 * x) es -12x y 2x, que combinados no producirán el término b + 2x correcto.
-12x + 2x = 10x
10 veces 2x
Paso 8. Invierta el orden si es necesario
Intentemos intercambiar 2 y 4:
(3x + 4) (x - 2)
Ahora, nuestro término c (4 * 2 = 8) es correcto, pero el producto externo / interno es -6x y 4x. Si los combinamos:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Estamos bastante cerca de 2x que estamos buscando, pero la señal es incorrecta.
Paso 9. Vuelva a verificar sus etiquetas si es necesario
Usaremos el mismo orden, pero intercambiaremos las ecuaciones que tienen el signo menos:
(3x - 4) (x + 2)
Ahora el término c no es un problema, y el producto externo / interno actual es (6x) y (-4x). Porque:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ahora podemos usar 2x positivo del problema original. Estos deben ser los factores correctos.
Método 2 de 6: Descomposición
Este método identificará todos los factores posibles de los términos ayc y los utilizará para encontrar los factores correctos. Si los números son demasiado grandes o adivinar parece llevar mucho tiempo, utilice este método. Usemos un ejemplo:
6x2 + 13x + 6
Paso 1. Multiplica el término a por el término c
En este ejemplo, a es 6 y c también es 6.
6 * 6 = 36
Paso 2. Obtenga el término b factorizando y probando
Buscamos dos números que sean factores del producto a * c que hemos identificado y que también sumen el término b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Paso 3. Sustituye los dos números que obtienes en tu ecuación como resultado de sumar el término b
Usemos k y h para representar los dos números que tenemos, 4 y 9:
hacha2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Paso 4. Factoriza el polinomio agrupando
Organiza las ecuaciones de modo que puedas tomar el máximo común divisor del primer y segundo términos. El grupo de factores debe ser el mismo. Sume el máximo común divisor y colóquelo entre paréntesis junto al grupo de factores; el resultado son tus dos factores:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Método 3 de 6: Triple Play
Similar al método de descomposición, el método de triple play examina los posibles factores de multiplicar los términos ayc y usar el valor de b. Intente usar esta ecuación de ejemplo:
8x2 + 10x + 2
Paso 1. Multiplica el término a por el término c
Al igual que el método de análisis sintáctico, esto nos ayudará a identificar candidatos para el término b. En este ejemplo, a es 8 y c es 2.
8 * 2 = 16
Paso 2. Encuentra dos números que, cuando se multiplican por números, producen este número con una suma total igual al término b
Este paso es el mismo que analizar: probamos y descartamos candidatos para la constante. El producto de los términos ayc es 16 y el término c es 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Paso 3. Tome estos dos números y pruébelos insertándolos en la fórmula de triple play
Tome nuestros dos números del paso anterior, llamémoslos hyk, y colóquelos en la ecuación:
((ax + h) (ax + k)) / a
Obtendremos:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Paso 4. Observe si alguno de los dos términos del numerador es divisible por a
En este ejemplo, vimos si (8x + 8) o (8x + 2) es divisible entre 8. (8x + 8) es divisible entre 8, entonces dividiremos este término entre ay dejaremos los otros factores en paz.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
El término entre paréntesis aquí es lo que queda después de dividir por el término a.
Paso 5. Tome el máximo común divisor (MCD) de uno o ambos términos, si lo hay
En este ejemplo, el segundo término tiene un MCD de 2, porque 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combine este resultado con el término que obtuvo en el paso anterior. Estos son los factores en tu ecuación.
2 (x + 1) (4x + 1)
Método 4 de 6: diferencia de raíces cuadradas
Algunos coeficientes en polinomios pueden ser 'cuadrados' o el producto de dos números. La identificación de estos cuadrados le permite factorizar múltiples polinomios más rápidamente. Prueba esta ecuación:
27 veces2 - 12 = 0
Paso 1. Saque el máximo común divisor si es posible
En este caso, podemos ver que 27 y 12 son divisibles por 3, por lo que obtenemos:
27x2 - 12 = 3 (9 veces2 - 4)
Paso 2. Identifica si los coeficientes de tu ecuación son números cuadrados
Para usar este método, debes poder sacar la raíz cuadrada de ambos términos. (Tenga en cuenta que ignoraremos el signo negativo, ya que estos números son cuadrados, pueden ser el producto de dos números positivos o negativos)
9 veces2 = 3x * 3x y 4 = 2 * 2
Paso 3. Usando la raíz cuadrada que obtuviste, escribe los factores
Tomaremos los valores de ayc de nuestro paso anterior - a = 9 y c = 4, luego encontraremos la raíz cuadrada - a = 3 y c = 2. El resultado es el coeficiente de la ecuación del factor:
27x2 - 12 = 3 (9 veces2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Método 5 de 6: fórmula cuadrática
Si todo lo demás falla y la ecuación no se puede factorizar en su totalidad, use la fórmula cuadrática. Prueba este ejemplo:
X2 + 4x + 1 = 0
Paso 1. Ingrese los valores requeridos en la fórmula cuadrática:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Obtenemos la ecuación:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Paso 2. Calcula el valor de x
Obtendrá dos valores. Como se muestra arriba, obtenemos dos respuestas:
x = -2 + (3) o x = -2 - (3)
Paso 3. Usa tu valor x para encontrar los factores
Reemplaza los valores de x que tienes en las dos ecuaciones polinomiales como constantes. El resultado son tus factores. Si llamamos a nuestras respuestas h y k, escribimos los dos factores de la siguiente manera:
(x - h) (x - k)
En este ejemplo, nuestra respuesta final es:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Método 6 de 6: Usar la calculadora
Si se le permite usar una calculadora, una calculadora gráfica hace que el proceso de factorización sea mucho más fácil, especialmente para las pruebas estandarizadas. Estas instrucciones son para la calculadora gráfica de TI. Usaremos una ecuación de ejemplo:
y = x2 x 2
Paso 1. Ingrese su ecuación en la calculadora
Utilizará la factorización de la ecuación, que está escrita [Y =] en la pantalla.
Paso 2. Grafica tu ecuación usando tu calculadora
Cuando haya ingresado su ecuación, presione [GRÁFICO] - verá una curva suave que representa su ecuación (y la forma es una curva porque estamos usando polinomios).
Paso 3. Encuentre la ubicación donde la curva se cruza con el eje x
Dado que las ecuaciones polinomiales generalmente se escriben como ax2 + bx + c = 0, esta intersección es el segundo valor de x que hace que la ecuación sea cero:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Si no puede identificar dónde se cruza el gráfico con el eje x mirándolo, presione [2nd] y luego [TRACE]. Presione [2] o seleccione cero. Mueva el cursor a la izquierda de la intersección y presione [ENTER]. Mueva el cursor a la derecha de la intersección y presione [ENTER]. Mueva el cursor lo más cerca posible de la intersección y presione [ENTER]. La calculadora encontrará el valor de x. Haga esto también para las otras intersecciones
Paso 4. Inserte el valor de x obtenido en el paso anterior en la ecuación de dos factores
Si nombramos nuestros valores de x h y k, las ecuaciones que usaríamos serían:
(x - h) (x - k) = 0
Por tanto, nuestros dos factores son:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Consejos
- Si tiene una calculadora (gráfica) TI-84, hay un programa llamado SOLVER que resolverá sus ecuaciones cuadráticas. Este programa resolverá polinomios de cualquier grado.
- Si no se escribe un término, el coeficiente es 0. Es útil reescribir la ecuación si este es el caso, por ejemplo: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Si factorizó su polinomio usando una fórmula cuadrática y obtuvo la respuesta en términos de raíces, es posible que desee convertir el valor de x en una fracción para verificar.
- Si un término no tiene coeficiente escrito, el coeficiente es 1, por ejemplo: x2 = 1x2.
- Después de suficiente práctica, eventualmente podrás factorizar polinomios en tu cabeza. Hasta que pueda hacerlo, asegúrese de escribir siempre el procedimiento.
