Cómo completar el cuadrado (con imágenes)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 02:37

Completar cuadrados es una técnica útil para ayudarlo a poner ecuaciones cuadráticas en una forma ordenada, lo que las hace fáciles de ver o incluso resolver. Puede completar cuadrados para construir fórmulas cuadráticas más complejas o incluso resolver ecuaciones cuadráticas. Si quieres saber cómo hacerlo, sigue estos pasos.

Paso

Parte 1 de 2: Conversión de ecuaciones ordinarias en funciones cuadráticas

Paso 1. Escribe la ecuación

Suponga que desea resolver la siguiente ecuación: 3x² - 4x + 5.

Paso 2. Saque los coeficientes de las variables cuadráticas de las dos primeras partes

Para sacar el número 3 de las dos primeras partes, simplemente saque el número 3 y colóquelo fuera de los corchetes, dividiendo cada parte por 3. 3x² dividido por 3 es x² y 4x dividido por 3 es 4 / 3x. Entonces, la nueva ecuación se convierte en: 3 (x² - 4 / 3x) + 5. El número 5 permanece fuera de la ecuación porque no está dividido por el número 3.

Paso 3. Divida la segunda parte por 2 y cuadre

La segunda parte o lo que se conoce como b en la ecuación es 4/3. Dividir por dos. 4/3 2, o 4/3 x 1/2, es igual a 2/3. Ahora, eleva al cuadrado esta sección elevando al cuadrado el numerador y el denominador de la fracción. (2/3)² = 4/9. Escríbelo.

Paso 4. Sume y reste estas partes de la ecuación

Necesitará esta parte adicional para que la ecuación vuelva a ser un cuadrado perfecto. Sin embargo, debes restarlos del resto de la ecuación para sumarlos. Aunque, parece que estás volviendo a tu ecuación original. Tu ecuación se ve así: 3 (x² - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.

Paso 5. Retire la parte que resta de los corchetes

Dado que tiene un coeficiente de 3 fuera del paréntesis, no puede simplemente generar -4/9. Primero tienes que multiplicarlo por 3. -4/9 x 3 = -12/9 o -4/3. Si tiene un coeficiente de 1 en la sección x.², entonces puede omitir este paso.

Paso 6. Cambie la parte entre corchetes a un cuadrado perfecto

Ahora, hay 3 (x² -4 / 3x +4/9) entre paréntesis. Ya ha intentado obtener 4/9, que en realidad es otra forma de completar el cuadrado. Entonces puedes reescribirlo como: 3 (x - 2/3)². Todo lo que tienes que hacer es dividir la segunda mitad y eliminar la tercera. Puedes verificar tu trabajo multiplicándolo y generando las tres primeras partes de la ecuación.

• 3 (x - 2/3)² =

  

• 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
• 3 [(x² -2 / 3x -2 / 3x + 4/9)]
• 3 (x² - 4 / 3x + 4/9)

Paso 7. Combine las constantes

Ahora hay dos constantes o números que no tienen variables. Ahora tienes 3 (x - 2/3)² - 4/3 + 5. Todo lo que tienes que hacer es sumar -4/3 y 5 para obtener 11/3. Los suma igualando los denominadores: -4/3 y 15/3, y luego sumando los números para obtener 11 y dejar el denominador 3.

• -4/3 + 15/3 = 11/3.

  

Paso 8. Escribe la ecuación en forma cuadrática

Has hecho. La ecuación final es 3 (x - 2/3)² +11/3. Puede eliminar el coeficiente de 3 dividiendo ambos lados de la ecuación para obtener (x - 2/3)² +11/9. Ha escrito correctamente la ecuación en forma cuadrática, a saber a (x - h)² + k, donde k representa una constante.

Parte 2 de 2: Resolver ecuaciones cuadráticas

Paso 1. Escriba las preguntas

Suponga que desea resolver la siguiente ecuación: 3x² + 4x + 5 = 6

Paso 2. Combine las constantes existentes y colóquelas en el lado izquierdo de la ecuación

Una constante es cualquier número que no tiene variable. En este problema, la constante es 5 a la izquierda y 6 a la derecha. Si desea mover 6 hacia la izquierda, debe restar ambos lados de la ecuación por 6. El resto es 0 en el lado derecho (6-6) y -1 en el lado izquierdo (5-6). La ecuación se convierte en: 3x² + 4x - 1 = 0.

Paso 3. Genere el coeficiente de la variable cuadrática

En este problema, 3 es el coeficiente de x². Para obtener el número 3, simplemente saque el número 3 y divida cada parte por 3. Entonces, 3x² 3 = x², 4x 3 = 4 / 3x y 1 3 = 1/3. La ecuación se convierte en: 3 (x² + 4 / 3x - 1/3) = 0.

Paso 4. Divida por la constante que acaba de extraer

Esto significa que puede quitar el coeficiente 3. Como ya dividió cada parte por 3, puede quitar el número 3 sin afectar la ecuación. Tu ecuación se convierte en x² + 4 / 3x - 1/3 = 0

Paso 5. Divida la segunda parte por 2 y cuadre

Luego, tome la segunda parte, 4/3, o la parte b, y divídala por 2. 4/3 2 o 4/3 x 1/2, es igual a 4/6 o 2/3. Y 2/3 al cuadrado a 4/9. Una vez que lo haya elevado al cuadrado, deberá escribirlo en los lados izquierdo y derecho de la ecuación porque está agregando una parte nueva. Tienes que escribirlo en ambos lados para equilibrarlo. La ecuación se convierte en x² + 4/3 x + 2/3² - 1/3 = 2/3²

Paso 6. Mueva la constante inicial al lado derecho de la ecuación y súmela al cuadrado de su número

Mueva la constante inicial, -1/3, hacia la derecha, convirtiéndola en 1/3. Suma el cuadrado de tu número, 4/9 o 2/3². Encuentra un denominador común para sumar 1/3 y 4/9 multiplicando las fracciones superior e inferior de 1/3 por 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Ahora agregue 3/9 y 4/9 para obtener 7/9 en el lado derecho de la ecuación. La ecuación se convierte en: x² + 4/3 x + 2/3² = 4/9 + 1/3 entonces x² + 4/3 x + 2/3² = 7/9.

Paso 7. Escribe el lado izquierdo de la ecuación como un cuadrado perfecto

Como ya usó la fórmula para encontrar la pieza que falta, se omitió la parte difícil. Todo lo que tienes que hacer es poner xy la mitad del valor del segundo coeficiente entre paréntesis y elevarlo al cuadrado, por ejemplo: (x + 2/3)². Tenga en cuenta que factorizar un cuadrado perfecto producirá tres partes: x² + 4/3 x + 4/9. La ecuación se convierte en: (x + 2/3)² = 7/9.

Paso 8. Raíz cuadrada de ambos lados

En el lado izquierdo de la ecuación, la raíz cuadrada de (x + 2/3)² es x + 2/3. En el lado derecho de la ecuación, obtendrás +/- (√7) / 3. La raíz cuadrada del denominador, 9, es 3 y la raíz cuadrada de 7 es 7. Recuerda escribir +/- porque la raíz cuadrada puede ser positiva o negativa.

Paso 9. Mueva las variables

Para mover la variable x, simplemente mueva la constante 2/3 al lado derecho de la ecuación. Ahora, tiene dos posibles respuestas para x: +/- (√7) / 3 - 2/3. Estas son tus dos respuestas. Puede dejarlo solo o encontrar el valor de la raíz cuadrada de 7 si tiene que escribir una respuesta sin raíz cuadrada.

Consejos

• Asegúrese de escribir +/- en el lugar apropiado, de lo contrario, solo obtendrá una respuesta.
• Incluso después de conocer la fórmula cuadrática, practique completar el cuadrado con regularidad, ya sea probando la fórmula cuadrática o resolviendo algunos problemas. De esa forma, no olvidará el método cuando lo necesite.