Cómo dibujar un gráfico cuadrado: 10 pasos (con imágenes)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificación: 2024-02-01 14:12

Cuando se representa gráficamente, la ecuación cuadrática tiene la forma hacha² + bx + c o a (x - h)² + k Forme la letra U o una curva U invertida llamada parábola. Graficar una ecuación cuadrática consiste en buscar el vértice, la dirección y, a menudo, la intersección xey. En los casos de ecuaciones cuadráticas bastante simples, puede ser suficiente ingresar un conjunto de valores de x y trazar la curva en función de los puntos resultantes. Consulte el Paso 1 a continuación para comenzar.

Paso

Paso 1. Determina la forma de la ecuación cuadrática que tienes

Las ecuaciones cuadráticas se pueden escribir en tres formas diferentes: forma general, forma de vértice y forma cuadrática. Puede usar cualquier forma para graficar una ecuación cuadrática; el proceso de representar cada gráfico es ligeramente diferente. Si está haciendo la tarea, generalmente recibirá preguntas en una de estas dos formas; en otras palabras, no podrá elegir, por lo que es mejor comprender ambas. Las dos formas de la ecuación cuadrática son:

• Forma general.

  De esta forma, la ecuación cuadrática se escribe como: f (x) = ax² + bx + c donde a, byc son números reales y a no es cero.

  Por ejemplo, dos ecuaciones cuadráticas de forma general son f (x) = x² + 2x + 1 yf (x) = 9x² + 10x -8.

• Forma de pico.

  De esta forma, la ecuación cuadrática se escribe como: f (x) = a (x - h)² + k donde a, h y k son números reales y a no es cero. Se llama forma de vértice porque hyk darán inmediatamente el vértice (punto medio) de su parábola en el punto (h, k).

  Las dos ecuaciones en forma de vértice son f (x) = 9 (x - 4)² + 18 y -3 (x - 5)² + 1

• Para graficar cualquier tipo de ecuación, primero debemos encontrar el vértice de la parábola, que es el punto medio (h, k) al final de la curva. Las coordenadas de los picos en la forma general se calculan como: h = -b / 2a y k = f (h), mientras que en la forma de pico, hyk están en la ecuación.

Paso 2. Defina sus variables

Para resolver un problema cuadrático, las variables a, byc (o a, h, y k) generalmente deben definirse. Un problema de álgebra ordinario dará una ecuación cuadrática con las variables disponibles, generalmente en forma general, pero a veces en forma de pico.

• Por ejemplo, para una ecuación de forma general f (x) = 2x² + 16x + 39, tenemos a = 2, b = 16 y c = 39.
• Para la ecuación en forma de pico f (x) = 4 (x - 5)² + 12, tenemos a = 4, h = 5 y k = 12.

Paso 3. Calcule h

En la ecuación en forma de vértice, su valor h ya está dado, pero en la ecuación en forma general, se debe calcular el valor h. Recuerde que, para ecuaciones de forma general, h = -b / 2a.

• En nuestro ejemplo de forma general (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Después de resolver, encontramos que h = - 4.
• En nuestro ejemplo de forma de vértice (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabemos que h = 5 sin hacer ninguna matemática.

Paso 4. Calcule k

Como h, k ya se conoce en la ecuación de la forma de pico. Para ecuaciones de forma general, recuerde que k = f (h). En otras palabras, puede encontrar k reemplazando todos los valores de x en su ecuación con los valores de h que acaba de encontrar.

• Ya hemos determinado en nuestro ejemplo de forma general que h = -4. Para encontrar k, resolvemos nuestra ecuación reemplazando nuestro valor de h en lugar de x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Paso 7.

• En nuestro ejemplo de forma de pico, nuevamente, conocemos el valor de k (que es 12) sin tener que hacer ningún cálculo.

Paso 5. Dibuja tu pico

El vértice de tu parábola es el punto (h, k): h representa la coordenada x, mientras que k representa la coordenada y. El vértice es el punto medio de tu parábola, ya sea en la parte inferior de la U o en la parte superior de la U invertida. Conocer los vértices es una parte importante para dibujar una parábola precisa; a menudo, en el trabajo escolar, determinar el vértice es la parte que se debe buscar en una pregunta.

• En nuestro ejemplo de forma general, nuestro pico es (-4, 7). Así, nuestra parábola culminará 4 pasos a la izquierda desde 0 y 7 pasos arriba (0, 0). Debemos representar este punto en nuestro gráfico, asegurándonos de marcar las coordenadas.
• En nuestro ejemplo de forma de vértice, nuestro vértice es (5, 12). Tenemos que dibujar un punto 5 pasos a la derecha y 12 pasos arriba (0, 0).

Paso 6. Dibuja el eje de la parábola (opcional)

El eje de simetría de una parábola es una línea que pasa por su centro, dividiéndolo exactamente en el medio. En este eje, el lado izquierdo de la parábola reflejará el lado derecho. Para ecuaciones cuadráticas en la forma ax² + bx + co a (x - h)² + k, el eje de simetría es la línea que es paralela al eje y (es decir, exactamente vertical) y pasa por el vértice.

En el caso de nuestro ejemplo de forma general, el eje es la línea paralela al eje y que pasa por el punto (-4, 7). Aunque no es parte de la parábola, marcar con precisión esta línea en su gráfico eventualmente lo ayudará a ver la forma simétrica de la curva de la parábola

Paso 7. Encuentra la dirección de la apertura de la parábola

Después de conocer el pico y el eje de la parábola, a continuación necesitamos saber si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Afortunadamente, esto es fácil. Si el valor de a es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba, mientras que si el valor de a es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo (es decir, la parábola se invertirá).

• Para nuestro ejemplo de forma general (f (x) = 2x² + 16x + 39), sabemos que tenemos una parábola que se abre porque, en nuestra ecuación, a = 2 (positivo).
• Para nuestro ejemplo de forma de vértice (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabemos que también tenemos una parábola que se abre porque a = 4 (positivo).

Paso 8. Si es necesario, encuentra y dibuja la intersección con el eje x

A menudo, en el trabajo escolar, se le pedirá que encuentre la intersección con el eje x en la parábola (que es uno o dos puntos donde la parábola se encuentra con el eje x). Incluso si no encuentra uno, estos dos puntos son muy importantes para dibujar una parábola precisa. Sin embargo, no todas las parábolas tienen una intersección con el eje x. Si su parábola tiene un vértice que se abre y su vértice está sobre el eje x o si se abre hacia abajo y su vértice está debajo del eje x, la parábola no tendrá intersección con el eje x. De lo contrario, resuelva su intersección con el eje x de una de las siguientes maneras:

• Simplemente haz f (x) = 0 y resuelve la ecuación. Este método puede usarse para ecuaciones cuadráticas simples, especialmente en forma de pico, pero será muy difícil para ecuaciones complejas. Vea a continuación un ejemplo

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Raíz (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 y 13 es la intersección con el eje x en la parábola.

• Factoriza tu ecuación. Algunas ecuaciones en forma ax² + bx + c se puede factorizar fácilmente en la forma (dx + e) (fx + g), donde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, y e × g = c. En este caso, sus intersecciones con x son valores de x que harán que cualquier término entre paréntesis sea igual a 0. Por ejemplo:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • En este caso, su única intersección con el eje x es -1 porque hacer que x sea igual a -1 hará que cualquier término de factor entre paréntesis sea igual a 0.

• Usa la fórmula cuadrática. Si no puede resolver fácilmente su intersección con el eje x o factorizar su ecuación, use una ecuación especial llamada fórmula cuadrática que se creó para este propósito. Si aún no está resuelto, convierta su ecuación a la forma ax² + bx + c, luego ingrese a, byc en la fórmula x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac)) / 2a. Tenga en cuenta que este método a menudo le da dos respuestas para el valor de x, lo cual está bien, solo significa que su parábola tiene dos intersecciones con x. Vea a continuación un ejemplo:

  • -5x² + 1x + 10 se pone en la fórmula cuadrática de esta manera:
  • x = (-1 +/- Raíz (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Raíz (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- Raíz (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) y (-15, 18 / -10). La intersección con el eje x en la parábola es x = - 1, 318 y 1, 518
  • Nuestro ejemplo anterior de la forma general, 2x² + 16x + 39 se pone en la fórmula cuadrática de la siguiente manera:
  • x = (-16 +/- Raíz (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Raíz (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- Raíz (-56) / - 10
  • Como es imposible encontrar la raíz cuadrada de un número negativo, sabemos que esta parábola no tiene intersección con el eje x.

Paso 9. Si es necesario, encuentra y dibuja la intersección con el eje y

Si bien a menudo no es necesario buscar la intersección con el eje y en las ecuaciones (el punto donde la parábola pasa por el eje y), es posible que eventualmente tengas que encontrarlo, especialmente si estás en la escuela. El proceso es bastante simple: simplemente haga x = 0, luego resuelva su ecuación para f (x) o y, lo que da el valor de y donde su parábola pasa por el eje y. A diferencia de la intersección con el eje x, una parábola regular solo puede tener una intersección con el eje y. Nota: para las ecuaciones de forma general, la intersección con el eje y está en y = c.

• Por ejemplo, sabemos que nuestra ecuación cuadrática es 2x² + 16x + 39 tiene una intersección con el eje y en y = 39, pero también se puede encontrar de la siguiente manera:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. La intersección con el eje y de la parábola está en y = 39.

    Como se señaló anteriormente, la intersección con el eje y está en y = c.

• La forma de nuestra ecuación de vértice es 4 (x - 5)² + 12 tiene una intersección con el eje y que se puede encontrar de la siguiente manera:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. La intersección con el eje y de la parábola está en y = 112.

Paso 10. Si es necesario, dibuje puntos adicionales, luego dibuje un gráfico

Ahora tienes el vértice, la dirección, la intersección con el eje x y, posiblemente, la intersección con el eje y en tu ecuación. En esta etapa, puedes intentar dibujar tu parábola usando los puntos que tienes como guía, o buscar otros puntos para completar tu parábola para que la curva que dibujes sea más precisa. La forma más fácil de hacer esto es simplemente ingresar algunos valores de x en cualquier lado de su vértice, luego trazar estos puntos usando los valores de y que obtenga. A menudo, los profesores le piden que busque varios puntos antes de dibujar su parábola.

• Repasemos la ecuación x² + 2x + 1. Ya sabemos que la intersección con el eje x está solo en x = -1. Dado que la curva solo toca la intersección con el eje x en un punto, podemos concluir que el vértice es su intersección con el eje x, lo que significa que el vértice es (-1, 0). Efectivamente, solo tenemos un punto para esta parábola, no lo suficiente para dibujar una buena parábola. Busquemos algunos otros puntos para asegurarnos de que dibujamos un gráfico completo.

  • Encontremos los valores de y para los siguientes valores de x: 0, 1, -2 y -3.
  • Para 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Nuestro punto es (0, 1).

  • Para 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Nuestro punto es (1, 4).

  • Para -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Nuestro punto es (-2, 1).

  • Para -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Nuestro punto es (-3, 4).

  • Dibuja estos puntos en el gráfico y dibuja tu curva en forma de U. Tenga en cuenta que la parábola es perfectamente simétrica: cuando sus puntos en un lado de la parábola son números enteros, generalmente puede reducir el trabajo de simplemente reflejar un punto dado en el eje de simetría de la parábola para encontrar el mismo punto en el otro lado de la parábola.

Consejos

• Redondea números o usa fracciones de acuerdo con la solicitud de tu maestro de álgebra. Esto te ayudará a graficar mejor la ecuación cuadrática.
• Tenga en cuenta que en f (x) = ax² + bx + c, si bo c es igual a cero, estos números desaparecerán. Por ejemplo, 12x² + 0x + 6 se convierte en 12x² + 6 porque 0x es 0.