Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor. Saber cómo convertir fracciones a sus formas equivalentes es una habilidad matemática extremadamente importante, requerida para todas las formas de matemáticas, desde el álgebra básica hasta el cálculo avanzado. Este artículo proporcionará varias formas de calcular fracciones equivalentes, desde la multiplicación y división básicas hasta formas más complejas de resolver ecuaciones fraccionarias equivalentes.
Paso
Método 1 de 5: Organizar fracciones equivalentes
Paso 1. Multiplica el numerador y el denominador por el mismo número
Dos fracciones diferentes pero equivalentes tienen, por definición, un numerador y un denominador que son múltiplos entre sí. En otras palabras, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número producirá fracciones equivalentes. Aunque los números de la nueva fracción serán diferentes, las fracciones tendrán el mismo valor.
- Por ejemplo, si tomamos la fracción 4/8 y multiplicamos el numerador y el denominador por 2, obtenemos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Estas dos fracciones son equivalentes.
- (4 × 2) / (8 × 2) es en realidad lo mismo que 4/8 × 2/2. Recuerda que al multiplicar dos fracciones, estamos multiplicando directamente, es decir, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
- Tenga en cuenta que 2/2 es igual a 1 si hace la división. Por lo tanto, es más fácil entender por qué 4/8 y 8/16 son equivalentes porque multiplicar 4/8 × (2/2) = sigue siendo 4/8. De la misma manera, es lo mismo que decir 4/8 = 8/16.
- Cualquier fracción dada tiene un número infinito de fracciones equivalentes. Puede multiplicar tanto el numerador como el denominador por cualquier número entero, independientemente de su tamaño o pequeño, para obtener una fracción equivalente.
Paso 2. Divide el numerador y el denominador por el mismo número
Al igual que la multiplicación, la división también se puede usar para encontrar una nueva fracción que sea equivalente a su fracción original. Simplemente divide el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número para obtener la fracción equivalente. Hay un inconveniente en este proceso: la fracción final debe tener números enteros tanto en el numerador como en el denominador para ser verdadera.
Por ejemplo, miremos hacia atrás en 4/8. Si, en lugar de multiplicar, dividimos tanto el numerador como el denominador por 2, obtenemos (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 y 4 son números enteros, por lo que estas fracciones equivalentes son verdaderas
Método 2 de 5: uso de la multiplicación básica para determinar la igualdad
Paso 1. Encuentra el número que debe multiplicarse por el denominador más pequeño para obtener el denominador más grande
Muchos problemas relacionados con las fracciones implican determinar si dos fracciones son equivalentes. Al calcular este número, puede comenzar a igualar los términos fraccionarios para determinar la igualdad.
- Por ejemplo, reutilice las fracciones 4/8 y 8/16. El denominador más pequeño es 8 y tenemos que multiplicar el número por 2 para obtener el denominador más grande, que es 16. Entonces, el número en este caso es 2.
- Para números más difíciles, puede dividir el denominador más grande por el denominador más pequeño. En este caso, 16 se divide por 8, lo que todavía da 2.
- El número no siempre es un número entero. Por ejemplo, si los denominadores son 2 y 7, entonces el número es 3, 5.
Paso 2. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción que tiene el término más pequeño por el número del primer paso
Dos fracciones diferentes pero equivalentes tienen, por definición, numerador y denominador que son múltiplos entre sí. En otras palabras, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número producirá una fracción equivalente. Aunque los números en esta nueva fracción serán diferentes, estas fracciones tendrán el mismo valor.
Por ejemplo, si usamos la fracción 4/8 del paso uno y multiplicamos el numerador y el denominador por el número que definimos anteriormente, que es 2, obtenemos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Este resultado prueba que estas dos fracciones son equivalentes.
Método 3 de 5: Uso de la división básica para determinar la igualdad
Paso 1. Cuenta cada fracción como un número decimal
Para fracciones simples sin variables, puede representar cada fracción como un número decimal para determinar la igualdad. Dado que cada fracción es en realidad un problema de división, esta es la forma más sencilla de determinar la igualdad.
- Por ejemplo, use la fracción que usamos antes, 4/8. La fracción 4/8 es equivalente a decir 4 dividido por 8, que es 4/8 = 0.5. También puedes resolver el otro ejemplo, que es 8/16 = 0.5. No importa los términos en una fracción, la fracción es equivalente si ambos números son iguales cuando se representan en decimal.
- Tenga en cuenta que las expresiones decimales pueden tener varios dígitos antes de que la igualdad sea obvia. Como ejemplo básico, 1/3 = 0.333 se repite mientras que 3/10 = 0.3 Usando más de un dígito, vemos que estas dos fracciones no son equivalentes.
Paso 2. Divide el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número para obtener una fracción equivalente
Para fracciones más complejas, el método de división requiere pasos adicionales. Mientras que con la multiplicación, puede dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número para obtener una fracción equivalente. Hay un inconveniente en este proceso. La fracción final debe tener números enteros tanto en el numerador como en el denominador para ser verdadera.
Por ejemplo, miremos hacia atrás en 4/8. Si, en lugar de multiplicar, dividimos el numerador y el denominador por 2, obtenemos (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 y 4 son números enteros, por lo que estas fracciones equivalentes son verdaderas.
Paso 3. Simplifica las fracciones a sus términos más simples
La mayoría de las fracciones generalmente se escriben en sus términos más simples, y puedes convertir fracciones a su forma más simple dividiéndolas por el máximo común divisor (MCD). Este paso se realiza con la misma lógica que la escritura de fracciones equivalentes, convirtiéndolas al mismo denominador, pero este método intenta simplificar cada fracción a sus términos más pequeños posibles.
- Cuando una fracción está en su forma más simple, el numerador y el denominador tienen los valores más pequeños posibles. Ambos no se pueden dividir por ningún número entero para obtener el valor más pequeño. Para convertir una fracción que no está en su forma más simple en su forma equivalente más simple, dividimos el numerador y el denominador por su mayor factor común.
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El máximo factor común (MCD) del numerador y denominador es el número más grande que los divide para dar un resultado entero. Entonces, en nuestro ejemplo 4/8, porque
Paso 4. es el número más grande divisible entre 4 y 8, dividiremos el numerador y denominador de nuestra fracción por 4 para obtener los términos más simples. (4 4) / (8 4) = 1/2. Para nuestro otro ejemplo, 8/16, el MCD es 8, que también devuelve el valor 1/2 como la expresión más simple de una fracción.
Método 4 de 5: uso de productos cruzados para encontrar variables
Paso 1. Organiza las dos fracciones de modo que sean iguales entre sí
Usamos la multiplicación cruzada para problemas matemáticos donde sabemos que las fracciones son equivalentes, pero uno de los números ha sido reemplazado por una variable (generalmente x) que tenemos que resolver. En casos como este, sabemos que estas fracciones son equivalentes porque son los únicos términos del otro lado del signo igual, pero a menudo la forma de encontrar la variable no es obvia. Afortunadamente, con la multiplicación cruzada, resolver este tipo de problemas es fácil.
Paso 2. Toma dos fracciones equivalentes y multiplícalas por una forma de "X"
En otras palabras, multiplica el numerador de una fracción por el denominador de otra fracción y viceversa, luego organiza las dos respuestas para que coincidan entre sí y resuelvas.
Tome nuestros dos ejemplos, 4/8 y 8/16. Ninguno tiene variable, pero podemos probar el concepto porque ya sabemos que son equivalentes. Al multiplicar de forma cruzada, obtenemos 4/16 = 8 x 8, o 64 = 64, lo cual es cierto. Si estos dos números no son iguales, entonces las fracciones no son equivalentes
Paso 3. Agregue variables
Dado que la multiplicación cruzada es la forma más fácil de determinar fracciones equivalentes cuando tienes que encontrar variables, agreguemos variables.
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Por ejemplo, usemos la ecuación 2 / x = 10/13. Para multiplicar de forma cruzada, multiplicamos 2 por 13 y 10 por x, luego igualamos nuestras respuestas:
- 2 × 13 = 26
- 10 x x = 10 x
- 10x = 26. A partir de aquí, encontrar la respuesta a nuestra variable es un simple problema de álgebra. x = 26/10 = 2, 6, haciendo la fracción equivalente inicial 2/2, 6 = 10/13.
Paso 4. Utilice la multiplicación cruzada para fracciones de variables múltiples o expresiones de variables
Una de las mejores cosas de la multiplicación cruzada es que en realidad funciona de la misma manera, ya sea que esté trabajando con dos fracciones simples (como arriba) o con fracciones más complejas. Por ejemplo, si ambas fracciones tienen variables, solo necesita eliminar estas variables en el proceso de resolución. De manera similar, si el numerador o denominador de su fracción tiene una expresión variable (como x + 1), simplemente "multiplíquelo" usando la propiedad distributiva y resuelva como de costumbre.
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Por ejemplo, usemos la ecuación ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). En este caso, como arriba, lo resolveremos por producto cruzado:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, entonces podemos simplificar la fracción restando 2x de ambos lados
- 2 = 2x + 12, luego aislamos la variable restando 12 de ambos lados
- -10 = 2x y dividir por 2 para encontrar x
- - 5 = x
Método 5 de 5: uso de fórmulas cuadráticas para encontrar variables
Paso 1. Cruza las dos fracciones
Para los problemas de igualdad que requieren una fórmula cuadrática, todavía comenzamos usando el producto cruzado. Sin embargo, es probable que cualquier producto cruzado que implique multiplicar los términos de una variable por los términos de otra variable resulte en una expresión que no se puede resolver fácilmente usando álgebra. En casos como estos, es posible que deba utilizar técnicas como la factorización y / o fórmulas cuadráticas.
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Por ejemplo, veamos la ecuación ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Primero, multipliquemos en cruz:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Paso 2. Escribe la ecuación como una ecuación cuadrática
En esta sección, queremos escribir esta ecuación en forma cuadrática (ax2 + bx + c = 0), lo que hacemos al igualar la ecuación a cero. En este caso, restamos 12 de ambos lados para obtener 2x2 - 14 = 0.
Algunos valores pueden ser iguales a 0. Aunque 2x2 - 14 = 0 es la forma más simple de nuestra ecuación, la ecuación cuadrática real es 2x2 + 0x + (-14) = 0. Puede ser útil al principio escribir la forma de la ecuación cuadrática incluso si algunos valores son iguales a 0.
Paso 3. Resuelve conectando los números de tu ecuación cuadrática en la fórmula cuadrática
Fórmula cuadrática (x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a) nos ayudará a encontrar nuestro valor x en esta sección. No tema la longitud de la fórmula. Simplemente tome los valores de su ecuación cuadrática en el paso dos y colóquelos en los lugares correctos antes de resolverlos.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a. En nuestra ecuación, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 y c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10,58 / 4)
- x = +/- 2, 64
Paso 4. Verifica tu respuesta volviendo a ingresar el valor de x en tu ecuación cuadrática
Al volver a introducir el valor de x calculado en la ecuación cuadrática del paso dos, puede determinar fácilmente si obtuvo la respuesta correcta. En este ejemplo, colocará 2, 64 y -2, 64 en la ecuación cuadrática original.
Consejos
- Convertir una fracción a su equivalente es en realidad una forma de multiplicar una fracción por 1. Al convertir 1/2 en 2/4, multiplicar el numerador y el denominador por 2 es lo mismo que multiplicar 1/2 por 2/2, que es igual a 1.
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Si lo desea, convierta el número mixto en una fracción común para facilitar la conversión. Por supuesto, no todas las fracciones con las que te encuentres serán tan fáciles como convertir nuestro ejemplo 4/8 anterior. Por ejemplo, los números mixtos (como 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) pueden complicar un poco el proceso de conversión. Si tiene que convertir un número mixto en una fracción común, puede hacerlo de dos maneras: convirtiendo el número mixto en una fracción común y luego convirtiéndolo como de costumbre, o manteniendo la forma de números mixtos y obteniendo respuestas en forma de números mixtos.
- Para convertir a una fracción común, multiplica el componente entero del número mixto por el denominador del componente fraccionario y luego suma al numerador. Por ejemplo, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Luego, si lo desea, puede cambiarlo según sea necesario. Por ejemplo, 5/3 × 2/2 = 10/6, que permanece igual a 1 2/3.
- Sin embargo, no tenemos que convertirlo en una fracción común como se indicó anteriormente. De lo contrario, dejamos el componente entero solo, cambiamos solo el componente fraccionario y agregamos el componente entero sin cambios. Por ejemplo, para 3 4/16, solo vemos 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Entonces, al agregar nuestros componentes enteros nuevamente, obtenemos un nuevo número mixto, 3 1/4.
Advertencia
- La multiplicación y la división se pueden usar para obtener fracciones equivalentes porque la multiplicación y la división con la forma fraccionaria del número 1 (2/2, 3/3, etc.) dan una respuesta que es equivalente a la fracción original, por definición. No se pueden usar sumas y restas.
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Aunque multiplica los numeradores y denominadores cuando multiplica fracciones, no suma ni resta los denominadores cuando suma o resta fracciones.
Por ejemplo, arriba, sabemos que 4/8 4/4 = 1/2. Si sumamos 4/4, obtenemos una respuesta completamente diferente. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 o 3/2, no son iguales a 4/8.
