Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador, el denominador o ambos también contienen una fracción. Por esta razón, las fracciones complejas a veces se denominan "fracciones apiladas". Simplificar fracciones complejas puede ser fácil o difícil, dependiendo de cuántos números haya en el numerador y denominador, si uno de los números es una variable o la complejidad del número de variable. ¡Vea el Paso 1 a continuación para comenzar!
Paso
Método 1 de 2: simplificar fracciones complejas con multiplicación inversa
Paso 1. Simplifique el numerador y el denominador a una sola fracción si es necesario
Las fracciones complejas no siempre son difíciles de resolver. De hecho, las fracciones complejas cuyo numerador y denominador contienen una sola fracción suelen ser bastante fáciles de resolver. Entonces, si el numerador o denominador (o ambos) de una fracción compleja contiene múltiples fracciones o fracciones y un número entero, simplifíquelo para obtener una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador. Encuentra el mínimo común múltiplo (LCM) de dos o más fracciones.
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Por ejemplo, digamos que queremos simplificar una fracción compleja (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Primero, simplificaremos tanto el numerador como el denominador de una fracción compleja en una sola fracción.
- Para simplificar el numerador, use el MCM 15 obtenido al multiplicar 3/5 por y 3/3. El numerador será 9/15 + 2/15, lo que equivale a 11/15.
- Para simplificar el denominador, usaremos el resultado MCM de 70 que se obtiene al multiplicar 5/7 por 10/10 y 3/10 por 7/7. El denominador será 50/70 - 21/70, lo que equivale a 29/70.
- Por tanto, la nueva fracción compleja es (11/15)/(29/70).
Paso 2. Invierte el denominador para encontrar su recíproco
Por definición, dividir un número por otro es lo mismo que multiplicar el primer número por el recíproco del segundo número. Ahora que tenemos una fracción compleja con una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador, usaremos esta división para simplificar la fracción compleja. Primero, encuentre el recíproco de la fracción en la parte inferior de la fracción compleja. Haga esto "invirtiendo" la fracción, colocando el numerador en lugar del denominador y viceversa.
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En nuestro ejemplo, la fracción en el denominador de la fracción compleja (11/15) / (29/70) es 29/70. Para encontrar la inversa, la "invertimos" para obtener 70/29.
Tenga en cuenta que si una fracción compleja tiene un número entero en el denominador, podemos tratarla como una fracción y encontrar su recíproco. Por ejemplo, si la fracción compleja es (11/15) / (29), podemos hacer el denominador 29/1, lo que significa que el recíproco es 1/29.
Paso 3. Multiplica el numerador de la fracción compleja por el recíproco del denominador
Ahora que tenemos el recíproco del denominador de la fracción compleja, multiplíquelo por el numerador para obtener una sola fracción simple. Recuerda que para multiplicar dos fracciones, solo multiplicamos de forma cruzada: el numerador de la nueva fracción es el número del numerador de las dos fracciones antiguas, así como el denominador.
En nuestro ejemplo, multiplicaremos 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 y 15 × 29 = 435. Entonces, la nueva fracción simple es 770/435.
Paso 4. Simplifica la nueva fracción encontrando el máximo factor común
Ya tenemos una fracción simple, así que todo lo que tenemos que hacer es encontrar el número más simple. Encuentre el máximo factor común (MCD) del numerador y denominador y divida ambos por este número para simplificarlo.
Uno de los factores comunes de 770 y 435 es 5. Entonces, si dividimos el numerador y el denominador de la fracción por 5, obtenemos 154/87. 154 y 87 no tienen factores comunes, ¡así que esa es la respuesta final!
Método 2 de 2: simplificar fracciones complejas que contienen números variables
Paso 1. Si es posible, use el método de multiplicación inversa anterior
Para ser claros, casi todas las fracciones complejas se pueden simplificar restando el numerador y el denominador por una sola fracción y multiplicando el numerador por el recíproco del denominador. También se incluyen las fracciones complejas que contienen variables, aunque cuanto más compleja sea la expresión de variables en fracciones complejas, más difícil y lento será utilizar la multiplicación inversa. Para fracciones complejas "fáciles" que contienen variables, la multiplicación inversa es una buena opción, pero las fracciones complejas con múltiples números de variable en el numerador y denominador pueden ser más fáciles de simplificar de la forma alternativa que se describe a continuación.
- Por ejemplo, (1 / x) / (x / 6) es fácil de simplificar mediante la multiplicación inversa. 1 / x × 6 / x = 6 / x2. No es necesario utilizar métodos alternativos aquí.
- Sin embargo, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) es más difícil de simplificar mediante la multiplicación inversa. Reducir el numerador y denominador de fracciones complejas a fracciones simples, multiplicar inversamente y reducir el resultado a los números más simples puede ser un proceso complicado. En este caso, el método alternativo a continuación puede ser más fácil.
Paso 2. Si la multiplicación inversa no es práctica, comience por encontrar el MCM del número fraccionario en la fracción compleja
El primer paso es encontrar el MCM de todos los números fraccionarios en una fracción compleja, tanto en el numerador como en el denominador. Por lo general, si uno o más números fraccionarios tienen un número en el denominador, el MCM es el número en el denominador.
Esto es más fácil de entender con un ejemplo. Intentemos simplificar las fracciones complejas mencionadas anteriormente, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Los números fraccionarios de esta fracción compleja son (1) / (x + 3) y (1) / (x-5). El MCM de las dos fracciones es el número en el denominador: (x + 3) (x-5).
Paso 3. Multiplica el numerador de la fracción compleja por el MCM recién encontrado
Luego, tenemos que multiplicar el número en la fracción compleja por el MCM del número fraccionario. En otras palabras, multiplicaremos todas las fracciones complejas por (KPK) / (KPK). Podemos hacer esto de forma independiente porque (KPK) / (KPK) es igual a 1. Primero, multiplique los numeradores.
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En nuestro ejemplo, multiplicaremos la fracción compleja, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), es decir ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Tenemos que multiplicar a través del numerador y denominador de la fracción compleja, multiplicando cada número por (x + 3) (x-5).
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Primero, multipliquemos los numeradores: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
- = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
- = (x-5) + (x (x.)2 - 2x - 15)) - (10 (x2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
- = X3 - 12x2 + 6x +145
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Paso 4. Multiplica el denominador de la fracción compleja por el MCM como lo harías con el numerador
Continúe multiplicando la fracción compleja por el MCM hallado procediendo al denominador. Multiplica todo, multiplica cada número por el MCM.
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El denominador de nuestra fracción compleja, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), es x +4 + ((1) // (x-5)). Lo multiplicaremos por el MCM encontrado, (x + 3) (x-5).
- (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
- = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
- = x (x2 - 2x - 15) + 4 (x2 - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
- = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x + 3)
- = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x + 3)
- = X3 + 2x2 - 22x - 57
Paso 5. Cree una fracción nueva y simplificada a partir del numerador y denominador recién encontrados
Después de multiplicar la fracción por (KPK) / (KPK) y simplificarla combinando los números, el resultado es una fracción simple que no contiene un número fraccionario. Tenga en cuenta que al multiplicar por el MCM del número fraccionario en la fracción compleja original, el denominador de esta fracción se agotará y dejará el número variable y el número entero en el numerador y denominador de la respuesta, sin fracciones.
Con el numerador y el denominador que se encuentran arriba, podemos construir una fracción que sea igual a la fracción compleja original, pero que no contenga el número fraccionario. El numerador que se obtuvo es x3 - 12x2 + 6x + 145 y el denominador que obtuvimos fue x3 + 2x2 - 22x - 57, por lo que la nueva fracción se convierte en (X3 - 12x2 + 6x + 145) / (x3 + 2x2 - 22x - 57)
Consejos
- Muestre cada paso del trabajo. Las fracciones pueden resultar confusas si los pasos se cuentan demasiado rápido o si intentan hacerlo de memoria.
- Encuentre ejemplos de fracciones complejas en Internet o en libros. Siga cada paso hasta que pueda dominarlo.
