Un vector es una cantidad física que tiene magnitud y dirección (por ejemplo, velocidad, aceleración y desplazamiento), a diferencia de un escalar que consta solo de magnitud (por ejemplo, velocidad, distancia o energía). Si los escalares se pueden sumar sumando magnitudes (por ejemplo, 5 kJ de trabajo más 6 kJ de trabajo equivalen a 11 kJ de trabajo), los vectores son un poco difíciles de sumar o restar. Vea el Paso 1 a continuación para aprender algunas formas de sumar o restar vectores.
Paso
Método 1 de 3: sumar y restar vectores cuyos componentes se conocen
Paso 1. Escriba las componentes dimensionales del vector en notación vectorial
Dado que los vectores tienen magnitud y dirección, generalmente se pueden dividir en partes según las dimensiones x, y y / o z. Estas dimensiones generalmente se escriben en una notación similar para describir un punto en un sistema de coordenadas (por ejemplo, y otros). Si conoce esta parte, sumar o restar vectores es muy fácil, simplemente sume o reste sus coordenadas x, y y z.
- Observe si las dimensiones del vector son 1, 2 o 3. Por lo tanto, el vector puede tener componentes x, xey, o x, y y z. Nuestro siguiente ejemplo utiliza un vector tridimensional, pero el proceso es como un vector de 1 o 2 dimensiones.
- Suponga que tenemos dos vectores tridimensionales, el vector A y el vector B. Podemos escribir estos vectores usando notación vectorial como A = y B =, donde a1 y a2 son componentes x, b1 y b2 son componentes y, y c1 y c2 son componentes z.
Paso 2. Para sumar los dos vectores, sume sus componentes
Si se conocen los dos componentes de un vector, puede sumar los vectores sumando los componentes de cada uno. En otras palabras, sume el componente x del primer vector al componente x del segundo vector y haga lo mismo con y y z. La respuesta que obtienes al sumar las componentes x, y y z de esos vectores son las componentes x, y y z de tu nuevo vector.
- En términos generales, A + B =.
- Agreguemos dos vectores A y B. A = y B =. A + B =, o.
Paso 3. Para restar ambos vectores, reste sus componentes
Como veremos más adelante, se puede pensar en restar un vector de otro como sumar sus vectores recíprocos. Si se conocen los componentes de ambos vectores, es posible restar un vector de otro restando el primer componente del segundo componente (o sumando los componentes negativos de ambos).
- En términos generales, A-B =
- Restemos dos vectores A y B. A = y B =. A - B =, o.
Método 2 de 3: Sumar y restar con imágenes usando el método de cabeza y cola
Paso 1. Simbolice el vector dibujándolo con la cabeza y la cola
Dado que los vectores tienen magnitud y dirección, podemos decir que tienen cola y cabeza. En otras palabras, un vector tiene un punto inicial y un punto final que indica la dirección del vector cuya distancia desde el punto inicial es igual a la magnitud del vector. Cuando se dibuja, el vector toma la forma de una flecha. La punta de la flecha es la cabeza del vector y el final de la línea del vector es la cola.
Si está creando un dibujo vectorial con dimensiones, deberá medir y dibujar todas las esquinas con precisión. El ángulo incorrecto de la imagen afectará el resultado resultante cuando se suman o restan dos vectores usando este método
Paso 2. Agregar, dibujar o mover el segundo vector de modo que la cola se encuentre con la cabeza del primer vector
A esto se le llama combinar vectores de cabeza a cola. Si solo está sumando dos vectores, esto es lo que debe hacer antes de encontrar el vector resultante.
Tenga en cuenta que el orden en el que agregue los vectores no importa, suponiendo que use el mismo punto de partida. Vector A + Vector B = Vector B + Veltor A
Paso 3. Para restar, agregue un signo negativo al vector
Reducir vectores usando imágenes es muy simple. Invierta la dirección del vector, pero mantenga la misma magnitud y sume la cabeza y la cola del vector como de costumbre. En otras palabras, para restar un vector, rote el vector 180o y sumar.
Paso 4. Si suma o resta más de dos vectores, combine todos los vectores en un orden de cabeza a cola
El orden de fusión no importa. Este método se puede utilizar independientemente del número de vectores.
Paso 5. Dibuje un nuevo vector desde la cola del primer vector hasta la cabeza del último vector
Ya sea que esté sumando / restando dos vectores o cien, el vector que se extiende desde su punto de partida inicial (la cola del primer vector) hasta el punto final de su último vector (la cabeza de su último vector) es el vector resultante o la suma de todos tus vectores. Tenga en cuenta que este vector es exactamente el mismo que el vector obtenido al sumar todas las componentes x, y y / o z.
- Si dibuja todos sus vectores al tamaño, midiendo todos los ángulos correctamente, puede determinar la magnitud del vector resultante midiendo la longitud. También puede medir el ángulo entre la resultante y cualquier vector horizontal o verticalmente para determinar su dirección.
- Si no dibuja todos sus vectores al tamaño, es posible que deba calcular la magnitud de la resultante usando trigonometría. Tal vez las reglas del seno y el coseno ayuden. Si agrega más de dos vectores, es útil agregar el primer vector por el segundo, luego sumar la resultante del segundo al tercero, y así sucesivamente. Consulte las siguientes secciones para obtener más información.
Paso 6. Dibuja tu vector resultante usando su magnitud y dirección
Un vector se define por su longitud y dirección. Como se indicó anteriormente, suponiendo que dibujó su vector con precisión, la magnitud de su nuevo vector es su longitud y su dirección es el ángulo relativo a la dirección vertical u horizontal. Usa los vectores unitarios que sumas o restas para determinar las unidades para la magnitud de tu vector resultante.
Por ejemplo, si los vectores agregados representan la velocidad en ms-1, entonces el vector resultante se puede definir como "velocidad x ms-1 contra y o a la dirección horizontal.
Método 3 de 3: Sumar y restar vectores especificando componentes dimensionales vectoriales
Paso 1. Utilice trigonometría para determinar los componentes de un vector
Para encontrar los componentes de un vector, generalmente necesita conocer su magnitud y dirección en relación con la dirección horizontal o vertical y comprender la trigonometría. Suponiendo un vector bidimensional, primero, piense en su vector como la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos lados son paralelos a las direcciones xey. Estos dos lados se pueden considerar como componentes de un vector de cabeza a cola que se suman para formar su vector.
- Las longitudes de ambos lados son iguales a los componentes xey de su vector y se pueden calcular mediante trigonometría. Si x es una magnitud vectorial, el lado adyacente al ángulo del vector (relativo a la horizontal, vertical y otras direcciones) es xcos (θ), mientras que el lado opuesto es xsin (θ).
- También es muy importante tener en cuenta la dirección de sus componentes. Si el componente apunta a una coordenada negativa, se le da un signo negativo. Por ejemplo, en un plano bidimensional, si un componente apunta hacia la izquierda o hacia abajo, es negativo.
- Por ejemplo, digamos que tenemos un vector con magnitud 3 y dirección 135o en relación con la horizontal. Con esta información, podemos determinar que el componente x es 3cos (135) = - 2, 12 y el componente y es 3sin (135) = 2, 12
Paso 2. Suma o resta dos o más vectores relacionados
Una vez que haya encontrado los componentes de todos sus vectores, súmelos para encontrar los componentes del vector resultante. Primero, sume todas las magnitudes de los componentes horizontales (que son paralelos a la dirección x). Por separado, sume todas las magnitudes de los componentes verticales (que son paralelos a la dirección y). Si un componente es negativo (-), su magnitud se resta, no se suma. La respuesta que obtiene es el componente de su vector resultante.
Por ejemplo, el vector del paso anterior, se agrega al vector. En este caso, el vector resultante se convierte en o
Paso 3. Calcule la magnitud del vector resultante usando el Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras c2= a2+ b2, se usa para encontrar la longitud del lado de un triángulo rectángulo. Dado que el triángulo formado por nuestro vector resultante y sus componentes es un triángulo rectángulo, podemos usarlo para encontrar la longitud y la magnitud del vector. Con c como la magnitud del vector resultante, que está buscando, suponga que a es la magnitud de la componente xy b es la magnitud de la componente y. Resuelve usando álgebra.
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Para encontrar la magnitud del vector cuyas componentes hemos estado buscando en el paso anterior, use el Teorema de Pitágoras. Resuelva de la siguiente manera:
- C2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- C2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Paso 4. Calcule la dirección resultante usando la función Tangente
Finalmente, encuentre el vector resultante de la dirección. Usa la fórmula = bronceado-1(b / a), donde es el tamaño del ángulo formado en la dirección xo horizontal, b es el tamaño del componente y, y a es el tamaño del componente x.
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Para encontrar la dirección de nuestro vector, use = tan-1(licenciado en Letras).
- = bronceado-1(-6, 88/3, 66)
- = bronceado-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Paso 5. Dibuje su vector resultante de acuerdo con su magnitud y dirección
Como se escribió anteriormente, los vectores se definen por su magnitud y dirección. Asegúrese de utilizar las unidades adecuadas para el tamaño de su vector.
Por ejemplo, si nuestro ejemplo de vector representa una fuerza (en Newtons), entonces podemos escribirla "fuerza 7,79 N por -61,99 o a horizontal ".
Consejos
- El vector es diferente al grande.
- Los vectores con la misma dirección se pueden sumar o restar sumando o restando sus magnitudes. Si tu resumir dos vectores que son opuestos, sus magnitudes se restan, no se suman.
- Los vectores representados en la forma x i + y j + z k se pueden sumar o restar sumando o restando los coeficientes de los tres vectores unitarios. La respuesta también está en forma de i, j y k.
- Puedes encontrar el tamaño de un vector tridimensional usando la fórmula a2= b2+ c2+ d2 donde a es la magnitud del vector y b, cyd son las componentes de cada dirección.
- Los vectores de columna se pueden sumar y restar sumando o restando los valores de cada fila.