Este es un artículo sobre cómo factorizar un polinomio de cubo. Exploraremos cómo factorizar usando agrupaciones y también usando factores de términos independientes.
Paso
Método 1 de 2: Factorizar agrupando
Paso 1. Agrupa el polinomio en dos partes
Agrupar un polinomio en dos mitades te permitirá dividir cada parte por separado.
Supongamos que usamos un polinomio: x3 + 3 veces2 - 6x - 18 = 0. Dividir en (x3 + 3 veces2) y (- 6x - 18).
Paso 2. Encuentra los factores que son iguales en cada sección
- Desde (x3 + 3 veces2), podemos ver que el mismo factor es x2.
- De (- 6x - 18), podemos ver que el factor igual es -6.
Paso 3. Saque los factores iguales de ambos términos
- Saque el factor x2 de la primera parte, obtenemos x2(x + 3).
- Sacando el factor -6 de la segunda parte, obtenemos -6 (x + 3).
Paso 4. Si cada uno de los dos términos tiene el mismo factor, puede combinar los factores
Obtendrá (x + 3) (x2 - 6).
Paso 5. Encuentra la respuesta observando las raíces de la ecuación
Si tienes x2 en las raíces de la ecuación, recuerde que tanto los números positivos como los negativos satisfarán la ecuación.
Las respuestas son -3, 6 y -√6
Método 2 de 2: Factorizar utilizando términos gratuitos
Paso 1. Reorganiza la ecuación en la forma aX3+ bX2+ cX+ d.
Supongamos que usamos un polinomio: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Paso 2. Encuentra todos los factores de "d"
La constante "d" es un número que no tiene ninguna variable, como "x", al lado.
Los factores son números que se pueden multiplicar para obtener otro número. En este caso, los factores de 10, que es "d", son: 1, 2, 5 y 10
Paso 3. Encuentra un factor que haga que el polinomio sea igual a cero
Debemos determinar qué factores hacen que el polinomio sea igual a cero cuando sustituimos factores en cada "x" de la ecuación.
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Comience con el primer factor, que es 1. Sustituya "1" por cada "x" en la ecuación:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Obtendrá: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Dado que 0 = 0 es un enunciado verdadero, sabes que x = 1 es la respuesta.
Paso 4. Realice algunos ajustes
Si x = 1, puede reorganizar la declaración para que se vea ligeramente diferente sin cambiar su significado.
"x = 1" es lo mismo que "x - 1 = 0". Simplemente resta por "1" de cada lado de la ecuación
Paso 5. Saca el factor raíz de la ecuación del resto de la ecuación
"(x - 1)" es la raíz de la ecuación. Comprueba si puedes factorizar el resto de la ecuación. Saca los polinomios uno por uno.
- ¿Puedes factorizar (x - 1) de x3? No. Pero puedes pedir prestado -x2 de la segunda variable, entonces puedes factorizarla: x2(x - 1) = x3 - X2.
- ¿Puede factorizar (x - 1) del resto de la segunda variable? No. Tienes que pedir prestado un poco de la tercera variable. Tienes que pedir prestado 3x de -7x. Esto dará el resultado -3x (x - 1) = -3x2 + 3x.
- Como tomaste 3x de -7x, la tercera variable se convierte en -10x y la constante es 10. ¿Puedes factorizarla? ¡Sí! -10 (x - 1) = -10x + 10.
- Lo que debe hacer es establecer la variable para que pueda factorizar (x - 1) de toda la ecuación. Reordena la ecuación a algo como esto: x3 - X2 - 3 veces2 + 3x - 10x + 10 = 0, pero la ecuación sigue siendo igual a x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Paso 6. Continúe sustituyendo con factores del término independiente
Mire el número que factorizó usando (x - 1) en el paso 5:
- X2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Puede reorganizarlo para que sea más fácil factorizar una vez más: (x - 1) (x2 - 3x - 10) = 0.
- Aquí, solo necesita factorizar (x2 - 3x - 10). El resultado de la factorización es (x + 2) (x - 5).
Paso 7. Tu respuesta son las raíces factorizadas de la ecuación
Puede verificar si su respuesta es correcta conectando cada respuesta, por separado, en la ecuación original.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Esto dará las respuestas 1, -2 y 5.
- Reemplaza -2 en la ecuación: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Inserte 5 en la ecuación: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Consejos
- No existe un polinomio de cubo que no se pueda factorizar usando números reales porque cada cubo siempre tiene una raíz real. Un polinomio de cubo como x3 + x + 1 que tiene una raíz real irracional no se puede factorizar en un polinomio con coeficientes enteros o racionales. Aunque se puede factorizar mediante la fórmula del cubo, no se puede reducir como un polinomio entero.
- Un polinomio de cubo es el producto de tres polinomios a la potencia de uno o el producto de un polinomio a la potencia de uno y un polinomio a la potencia de dos que no se puede factorizar. Para situaciones como la última, usa la división larga después de encontrar el primer polinomio de potencias para obtener el segundo polinomio de potencias.
