Cómo factorizar con agrupación (con imágenes)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Última modificación: 2024-01-15 08:13

La agrupación es una técnica especial que se utiliza para factorizar ecuaciones polinomiales. Puedes usarlo con ecuaciones cuadráticas y polinomios que tienen cuatro términos. Los dos métodos son casi iguales, pero ligeramente diferentes.

Paso

Método 1 de 2: Ecuación cuadrática

Paso 1. Mira la ecuación

Si planea utilizar este método, la ecuación debe seguir la forma básica: ax² + bx + c

• Este proceso se usa generalmente cuando el coeficiente principal (un término) es un número distinto de "1", pero también se puede usar para ecuaciones cuadráticas donde a = 1.
• Ejemplo: 2x² + 9x + 10

Paso 2. Encuentra el producto principal de

Multiplica los términos ay c. El producto de estos dos términos se denomina producto principal.

• Ejemplo: 2x² + 9x + 10

  • a = 2; c = 10
  • a * c = 2 * 10 = 20

Paso 3. Separe el producto en sus pares de factores

Escriba los factores de su producto principal separándolos en pares de números enteros (los pares necesarios para obtener el producto principal).

• Ejemplo: los factores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20

  Escrito en pares de factores: (1, 20), (2, 10), (4, 5)

Paso 4. Encuentra un par de factores con una suma igual ab

Mire los pares de factores y determine el par que dará el término b, el término mediano y el coeficiente x, cuando se sumen.

• Si su producto principal es negativo, deberá encontrar un par de factores que sean iguales al término b cuando se restan entre sí.

• Ejemplo: 2x² + 9x + 10

  • b = 9
  • 1 + 20 = 21; esta no es la pareja correcta
  • 2 + 10 = 12; esta no es la pareja correcta
  • 4 + 5 = 9; esta es verdadero socio

Paso 5. Divida el término medio en dos factores

Vuelva a escribir el término medio separándolo en los pares de factores que se buscaron anteriormente. Asegúrese de ingresar el signo correcto (más o menos).

• Tenga en cuenta que el orden de los términos intermedios no es importante para este problema. No importa el orden de los términos que escriba, el resultado será el mismo.
• Ejemplo: 2x² + 9x + 10 = 2x² + 5x + 4x + 10

Paso 6. Agrupe las tribus para formar parejas

Agrupe los dos primeros términos en un par y los dos segundos términos en un par.

Ejemplo: 2x² + 5x + 4x + 10 = (2x² + 5x) + (4x + 10)

Paso 7. Factoriza cada par

Encuentra los factores comunes del par y factorízalos. Reescribe la ecuación correctamente.

Ejemplo: x (2x + 5) + 2 (2x + 5)

Paso 8. Factoriza los corchetes iguales

Debe haber los mismos paréntesis binomiales entre las dos mitades. Factoriza estos corchetes y coloca los otros términos dentro de los otros corchetes.

Ejemplo: (2x + 5) (x + 2)

Paso 9. Escriba sus respuestas

Ahora tienes tu respuesta.

• Ejemplo: 2x² + 9x + 10 = (2x + 5) (x + 2)

  La respuesta final es: (2x + 5) (x + 2)

Ejemplos adicionales

Paso 1. Factor:

4x² - 3x - 10

• a * c = 4 * -10 = -40
• Factores de 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
• El par correcto de factores: (5, 8); 5-8 = -3
• 4x² - 8x + 5x - 10
• (4 veces² - 8x) + (5x - 10)
• 4x (x - 2) + 5 (x - 2)
• (x - 2) (4x + 5)

Paso 2. Factorizar:

8x² + 2x - 3

• a * c = 8 * -3 = -24
• Factor de 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
• El par correcto de factores: (4, 6); 6 - 4 = 2
• 8x² + 6x - 4x - 3
• (8x² + 6x) - (4x + 3)
• 2x (4x + 3) - 1 (4x + 3)
• (4x + 3) (2x - 1)

Método 2 de 2: polinomios con cuatro términos

Paso 1. Mira la ecuación

La ecuación debe tener cuatro términos separados. Sin embargo, la forma de las cuatro tribus puede variar.

• Por lo general, usará este método si ve una ecuación polinomial que se parece a: ax³ + bx² + cx + d

• La ecuación también puede verse así:

  • axy + por + cx + d
  • hacha² + bx + cxy + dy
  • hacha⁴ + bx³ + cx² + dx
  • O casi la misma variación.
• Ejemplo: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

Paso 2. Factoriza el máximo común denominador (MCD)

Determina si los cuatro términos tienen algo en común. El máximo factor común de los cuatro términos, si alguno de los factores es común, se debe factorizar fuera de la ecuación.

• Si lo único que los cuatro términos tienen en común es el número "1", entonces ese término no tiene MCD y no se puede factorizar nada en este paso.
• Cuando factorizas el MCD, asegúrate de continuar escribiendo el MCD al principio de tu ecuación mientras trabajas. Este MCD sin factorizar debe incluirse como parte de su respuesta final para que su respuesta sea precisa.

• Ejemplo: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x

  • Cada término es igual a 2x, por lo que este problema se puede reescribir como:
  • 2x (2x³ + 6x² + 3x + 9)

Paso 3. Haga grupos más pequeños en el problema

Agrupe los dos primeros términos y los dos segundos términos.

• Si el primer término del segundo grupo tiene un signo menos delante de él, debe poner el signo menos delante del segundo paréntesis. Tienes que cambiar el signo del segundo término en el segundo grupo para que coincida.
• Ejemplo: 2x (2x³ + 6x² + 3x + 9) = 2x [(2x³ + 6x²) + (3x + 9)]

Paso 4. Factoriza el MCD de cada binomio

Identifique el MCD en cada par binomial y factorice el MCD para que esté fuera del par. Reescribe esta ecuación correctamente.

• En este paso, es posible que tenga que elegir entre factorizar números positivos o negativos para el segundo grupo. Mire las señales antes del segundo y cuarto trimestre.

  • Cuando ambos signos son iguales (ambos positivos o negativos), factoriza un número positivo.
  • Cuando los dos signos son diferentes (uno negativo y otro positivo), factoriza un número negativo.
• Ejemplo: 2x [(2x³ + 6x²) + (3x + 9)] = 2x²[2x²(x + 3) + 3 (x + 3)]

Paso 5. Factoriza el mismo binomio

Los pares binomiales en ambos corchetes deben ser iguales. Factoriza este par fuera de la ecuación, luego agrupa los términos restantes en otros paréntesis.

• Si los binomios entre paréntesis no coinciden, vuelva a verificar su trabajo o intente reorganizar los términos y reagrupar la ecuación.
• Todos los corchetes deben ser iguales. Si no son iguales, el problema no se resolverá mediante la agrupación u otros métodos, incluso si prueba cualquier método.
• Ejemplo: 2x²[2x²(x + 3) + 3 (x + 3)] = 2x²[(x + 3) (2x² + 3)]

Paso 6. Escriba sus respuestas

Tendrá su respuesta en este paso.

• Ejemplo: 4x⁴ + 12x³ + 6x² + 18x = 2x²(x + 3) (2x² + 3)

  La respuesta final es: 2x²(x + 3) (2x² + 3)

Ejemplos adicionales

Paso 1. Factor:

6x² + 2xy - 24x - 8 años

• 2 [3x² + xy - 12x - 4y]
• 2 [(3x² + xy) - (12x + 4y)]
• 2 [x (3x + y) - 4 (3x + y)]
• 2 [(3x + y) (x - 4)]
• 2 (3x + y) (x - 4)

Paso 2. Factorizar:

X³ - 2x² + 5x - 10

• (X³ - 2x²) + (5x - 10)
• X²(x - 2) + 5 (x - 2)
• (x - 2) (x² + 5)