La forma de la raíz es un enunciado algebraico que tiene el signo de la raíz cuadrada (o raíz cúbica o superior). Esta forma a menudo puede representar dos números que tienen el mismo valor aunque puedan parecer diferentes a primera vista (por ejemplo, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Por lo tanto, necesitamos una "fórmula estándar" para este tipo de formulario. Si hay dos declaraciones, ambas en la fórmula estándar, que parecen diferentes, no son lo mismo. Los matemáticos están de acuerdo en que la formulación estándar de la forma cuadrática cumple los siguientes requisitos:
- Evite el uso de fracciones
- No uses poderes fraccionarios
- Evite usar la forma raíz en el denominador
- No contiene la multiplicación de dos formas de raíz.
- Los números debajo de la raíz ya no se pueden enraizar
Un uso práctico de esto es en exámenes de opción múltiple. Cuando encuentre una respuesta, pero su respuesta no sea la misma que las opciones disponibles, intente simplificarla en una fórmula estándar. Dado que los formuladores de preguntas suelen escribir las respuestas en fórmulas estándar, haga lo mismo con sus respuestas para que coincidan con las de ellos. En las preguntas de ensayo, comandos como "simplifique su respuesta" o "simplifique todas las raíces" significan que los estudiantes deben realizar los siguientes pasos hasta que cumplan con la fórmula estándar anterior. Este paso también se puede utilizar para resolver ecuaciones, aunque algunos tipos de ecuaciones son más fáciles de resolver en fórmulas no estándar.
Paso
Paso 1. Si es necesario, revise las reglas para operar raíces y exponentes (ambos son iguales - las raíces son potencias de fracciones) ya que las necesitamos en este proceso
También revise las reglas para simplificar polinomios y formas racionales, ya que necesitaremos simplificarlas.
Método 1 de 6: cuadrados perfectos
Paso 1. Simplifique todas las raíces que contienen cuadrados perfectos
Un cuadrado perfecto es el producto de un número por sí mismo, por ejemplo 81, que es un producto de 9 x 9. Para simplificar un cuadrado perfecto, simplemente elimine la raíz cuadrada y escriba la raíz cuadrada del número.
- Por ejemplo, 121 es un cuadrado perfecto porque 11 x 11 es igual a 121. Por lo tanto, puede simplificar la raíz (121) a 11, eliminando el signo de la raíz.
- Para facilitar este paso, deberá recordar los primeros doce cuadrados perfectos: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Paso 2. Simplifique todas las raíces que contengan cubos perfectos
Un cubo perfecto es el producto de multiplicar un número por sí mismo dos veces, por ejemplo 27, que es el producto de 3 x 3 x 3. Para simplificar la forma de la raíz de un cubo perfecto, simplemente elimine la raíz cuadrada y escriba la raíz cuadrada. del número.
Por ejemplo, 343 es un cubo perfecto porque es el producto de 7 x 7 x 7. Entonces, la raíz cúbica de 343 es 7
Método 2 de 6: Convertir fracciones en raíces
O cambiando al revés (a veces ayuda), pero no los mezcle en la misma declaración que root (5) + 5 ^ (3/2). Asumiremos que desea usar la forma raíz y usaremos los símbolos raíz (n) para la raíz cuadrada y sqrt ^ 3 (n) para la raíz cúbica.
Paso 1. Toma uno elevado a la potencia de la fracción y conviértelo a la forma raíz, por ejemplo, x ^ (a / b) = raíz a la potencia b de x ^ a
Si la raíz cuadrada está en forma de fracción, conviértala a forma regular. Por ejemplo, raíz cuadrada (2/3) de 4 = raíz (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Paso 2. Convierta exponentes negativos a fracciones, por ejemplo, x ^ -y = 1 / x ^ y
Esta fórmula solo se aplica a exponentes constantes y racionales. Si está tratando con una forma como 2 ^ x, no la cambie, incluso si el problema indica que x puede ser una fracción o un número negativo
Paso 3. Fusionar la misma tribu y simplificar la forma racional resultante.
Método 3 de 6: eliminación de fracciones en raíces
La fórmula estándar requiere que la raíz sea un número entero.
Paso 1. Mira el número debajo de la raíz cuadrada si todavía contiene una fracción
Si todavía …
Paso 2. Cambie a una fracción que consta de dos raíces usando la raíz de identidad (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
No use esta identidad si el denominador es negativo o si es una variable que podría ser negativa. En este caso, primero simplifique la fracción
Paso 3. Simplifique cada cuadrado perfecto del resultado
Es decir, convierta sqrt (5/4) en sqrt (5) / sqrt (4), luego simplifique a sqrt (5) / 2.
Paso 4. Utilice otros métodos de simplificación, como simplificar fracciones complejas, combinar términos iguales, etc
Método 4 de 6: Combinar raíces de multiplicación
Paso 1. Si está multiplicando una forma de raíz por otra, combine las dos en una raíz cuadrada usando la fórmula:
raíz cuadrada (a) * raíz cuadrada (b) = raíz cuadrada (ab). Por ejemplo, cambie root (2) * root (6) por root (12).
- La identidad anterior, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), es válida si el número bajo el signo de la raíz cuadrada no es negativo. No use esta fórmula cuando ayb sean negativos porque cometerá el error de hacer sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). La declaración de la izquierda es igual a -1 (o indefinida si no usa números complejos) mientras que la declaración de la derecha es +1. Si a y / o b son negativos, primero "cambie" el signo como sqrt (-5) = i * sqrt (5). Si la forma debajo del signo de la raíz es una variable cuyo signo es desconocido en el contexto o puede ser positivo o negativo, déjelo como está por el momento. Puede usar la identidad más general, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) que se aplica a todos los números reales ayb, pero generalmente esta fórmula no ayuda mucho porque agrega complejidad al uso de la función sgn (signum).
- Esta identidad es válida solo si las formas de las raíces tienen el mismo exponente. Puede multiplicar diferentes raíces cuadradas como sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) convirtiéndolas en la misma raíz cuadrada. Para hacer esto, convierta temporalmente la raíz cuadrada en una fracción: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Luego usa la regla de la multiplicación para multiplicar los dos a la raíz cuadrada de 6125.
Método 5 de 6: Eliminar el factor cuadrado de la raíz
Paso 1. Factorizar raíces imperfectas en factores primos
Un factor es un número que cuando se multiplica por otro número forma un número; por ejemplo, 5 y 4 son dos factores de 20. Para descomponer las raíces imperfectas, escriba todos los factores del número (o tantos como sea posible, si el número es demasiado grande) hasta que haya encontrado un cuadrado perfecto.
Por ejemplo, intente encontrar todos los factores de 45: 1, 3, 5, 9, 15 y 45. 9 es un factor de 45 y también es un cuadrado perfecto (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Paso 2. Elimina todos los multiplicadores que sean cuadrados perfectos dentro de la raíz cuadrada
9 es un cuadrado perfecto porque es el producto de 3 x 3. Saca el 9 de la raíz cuadrada y reemplázalo con 3 delante de la raíz cuadrada, dejando 5 dentro de la raíz cuadrada. Si "pones" 3 de nuevo en la raíz cuadrada, multiplica por sí mismo para hacer 9, y si multiplicas por 5, devuelve 45. 3 raíces de 5 es una forma sencilla de expresar la raíz de 45.
Es decir, sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Paso 3. Encuentra el cuadrado perfecto en la variable
La raíz cuadrada de un cuadrado es | a |. Puede simplificar esto a solo "a" si la variable conocida es positiva. La raíz cuadrada de a elevado a 3 cuando se descompone en la raíz cuadrada de a al cuadrado por a - recuerda que los exponentes se suman cuando multiplicamos dos números a la potencia de a, por lo que a al cuadrado por a es igual a a elevado tercer poder.
Por lo tanto, un cuadrado perfecto en forma de cubo es un cuadrado
Paso 4. Elimina la variable que contiene el cuadrado perfecto de la raíz cuadrada
Ahora, tome un cuadrado de la raíz cuadrada y cámbielo a | a |. La forma simple de la raíz a elevado a 3 es | a | raíz a.
Paso 5. Combine los términos iguales y simplifique todas las raíces de los resultados del cálculo
Método 6 de 6: Racionalizar el denominador
Paso 1. La fórmula estándar requiere que el denominador sea un número entero (o un polinomio si contiene una variable) tanto como sea posible
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Si el denominador consta de un término bajo el signo de la raíz, como […] / raíz (5), multiplica tanto el numerador como el denominador por esa raíz para obtener […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * raíz (5) / 5.
Para raíces cúbicas o superiores, multiplique por la raíz apropiada para que el denominador sea racional. Si el denominador es la raíz ^ 3 (5), multiplica el numerador y el denominador por la raíz cuadrada ^ 3 (5) ^ 2
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Si el denominador consiste en sumar o restar dos raíces cuadradas como sqrt (2) + sqrt (6), multiplica el cuantificador y el denominador por su conjugado, que es la misma forma pero con el signo opuesto. Entonces […] / (root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6)) / (root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Luego usa la fórmula de identidad para la diferencia de dos cuadrados [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] para racionalizar el denominador, para simplificar (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Esto también se aplica a denominadores como 5 + sqrt (3) porque todos los enteros son raíces de otros enteros. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Este método también se aplica a la adición de raíces como sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Si los agrupa en (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) y multiplica por (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), la respuesta no está en forma racional, pero todavía en a + b * raíz (30) donde a y b ya son números racionales. Luego repita el proceso con los conjugados a + b * sqrt (30) y (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) será racional. En esencia, si puede usar este truco para eliminar un signo de raíz en el denominador, puede repetirlo muchas veces para eliminar todas las raíces.
- Este método también se puede utilizar para denominadores que contienen una raíz más alta, como la cuarta raíz de 3 o la séptima raíz de 9. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Desafortunadamente, no podemos obtener directamente el conjugado del denominador y es difícil hacerlo. Podemos encontrar la respuesta en un libro de álgebra sobre teoría de números, pero no entraré en eso.
Paso 2. Ahora el denominador está en forma racional, pero el numerador parece un desastre
Ahora todo lo que tienes que hacer es multiplicarlo por el conjugado del denominador. Continúe y multiplique como multiplicaríamos polinomios. Verifique si algún término se puede omitir, simplificar o combinar, si es posible.
Paso 3. Si el denominador es un número entero negativo, multiplique tanto el numerador como el denominador por -1 para hacerlo positivo
Consejos
- Puede buscar en línea sitios que puedan ayudar a simplificar los formularios raíz. Simplemente escriba la ecuación con el signo de la raíz y, después de presionar Enter, aparecerá la respuesta.
- Para preguntas más simples, es posible que no utilice todos los pasos de este artículo. Para preguntas más complejas, es posible que deba seguir varios pasos más de una vez. Utilice los pasos "simples" varias veces y verifique si su respuesta se ajusta a los criterios de formulación estándar que discutimos anteriormente. Si su respuesta está en la fórmula estándar, ha terminado; pero si no es así, puede consultar uno de los pasos anteriores para ayudarlo a hacerlo.
- La mayoría de las referencias a la "fórmula estándar recomendada" para la forma de raíces también se aplican a números complejos (i = raíz (-1)). Incluso si una declaración contiene una "i" en lugar de una raíz, evite los denominadores que aún contengan una i tanto como sea posible.
- Algunas de las instrucciones de este artículo asumen que todas las raíces son cuadrados. Los mismos principios generales se aplican a las raíces de los poderes superiores, aunque algunas partes (especialmente la racionalización del denominador) pueden ser bastante difíciles de trabajar. Decide por ti mismo qué forma quieres, como sqr ^ 3 (4) o sqr ^ 3 (2) ^ 2. (No recuerdo qué forma se sugiere generalmente en los libros de texto).
- Algunas de las instrucciones de este artículo utilizan la palabra "fórmula estándar" para describir la "forma regular". La diferencia es que la fórmula estándar solo acepta la forma 1 + sqrt (2) o sqrt (2) +1 y considera las otras formas como no estándar; La forma simple asume que usted, el lector, es lo suficientemente inteligente como para ver la "similitud" de estos dos números aunque no sean idénticos por escrito ('mismo' significa en su propiedad aritmética (suma conmutativa), no en su propiedad algebraica (raíz (2) es la raíz no negativa de x ^ 2-2)). Esperamos que los lectores comprendan el leve descuido en el uso de esta terminología.
- Si alguna de las pistas parece ambigua o contradictoria, siga todos los pasos que sean inequívocos y consistentes, y luego elija la forma que prefiera.
