Aprender a simplificar expresiones algebraicas es una de las claves para dominar el álgebra básica y la herramienta más útil que cualquier matemático debe tener. La simplificación permite a los matemáticos convertir expresiones complejas, largas y / o extrañas en expresiones equivalentes más simples o fáciles. Las habilidades básicas de simplificación son muy fáciles de aprender, incluso para aquellos que odian las matemáticas. Siguiendo unos sencillos pasos, es posible simplificar muchos de los tipos de expresiones algebraicas que se utilizan con más frecuencia, sin utilizar ningún conocimiento especial de matemáticas. ¡Consulte el Paso 1 para comenzar!
Paso
Comprensión de conceptos importantes
Paso 1. Agrupe los términos semejantes según sus variables y potencias
En álgebra, los términos semejantes tienen la misma configuración variable, con la misma potencia. En otras palabras, para que dos términos sean iguales, deben tener la misma variable, o ninguna variable, y cada variable tiene la misma potencia o ningún exponente. El orden de las variables en términos no es importante.
Por ejemplo, 3x2 y 4x2 son términos semejantes porque ambos tienen una variable x con la potencia del cuadrado. Sin embargo, x y x2 no son términos semejantes porque cada término tiene una variable x con una potencia diferente. Casi iguales, -3yx y 5xz no son términos semejantes porque cada término tiene una variable diferente.
Paso 2. Factoriza escribiendo el número como el producto de los dos factores
Factorizar es el concepto de escribir un número dado como el producto de la multiplicación de dos factores. Los números pueden tener más de un conjunto de factores; por ejemplo, 12 se puede obtener de 1 × 12, 2 × 6 y 3 × 4, por lo que podemos decir que 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son factores. de 12 Otra forma de imaginarlo es que los factores de un número son los números que dividen el número entero.
- Por ejemplo, si quisiéramos factorizar 20, podríamos escribirlo como 4 × 5.
- Tenga en cuenta que los términos variables también se pueden factorizar. -20x, por ejemplo, se puede escribir como 4 (5x).
- Los números primos no se pueden factorizar porque solo se pueden dividir entre ellos mismos y 1.
Paso 3. Utilice el acrónimo KaPaK BoTaK para recordar el orden de las operaciones
A veces, simplificar una expresión simplemente resuelve la operación en la ecuación hasta que ya no es viable. En estos casos, es muy importante recordar el orden de las operaciones para que no se produzcan errores aritméticos. El acrónimo KaPaK BoTaK lo ayudará a recordar el orden de las operaciones; las letras indican los tipos de operaciones que debe realizar, en el orden:
- Kfallar
- PAGelevar
- KAli
- Bde nuevo
- Tagregar
- Kcamarón
Método 1 de 3: Fusionar términos similares
Paso 1. Escribe tu ecuación
Las ecuaciones algebraicas más simples, que involucran solo unos pocos términos variables con coeficientes enteros y sin fracciones, raíces, etc., a menudo se pueden resolver en solo unos pocos pasos. Para la mayoría de los problemas matemáticos, el primer paso para simplificar la ecuación es escribirla.
Como problema de ejemplo, para los próximos pasos, usamos la expresión 1 + 2x - 3 + 4x.
Paso 2. Identifique tribus similares
Luego, busque términos semejantes en su ecuación. Recuerda que los términos semejantes tienen la misma variable y exponente.
Por ejemplo, identifiquemos términos semejantes en nuestra ecuación 1 + 2x - 3 + 4x. Tanto 2x como 4x tienen la misma variable con la misma potencia (en este caso, x no tiene exponente). Además, 1 y -3 son términos semejantes porque no tienen variables. Entonces en nuestra ecuación, 2x y 4x y 1 y -3 son tribus similares.
Paso 3. Combine términos semejantes
Ahora que ha identificado términos semejantes, puede combinarlos para simplificar su ecuación. Suma los términos (o resta en el caso de términos negativos) para reducir el conjunto de términos con la misma variable y exponente a un término igual.
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Agreguemos términos semejantes en nuestro ejemplo.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Paso 4. Crea una ecuación más simple a partir de los términos simplificados
Después de combinar sus términos semejantes, haga una ecuación a partir del nuevo conjunto de términos más pequeño. Obtendrá una ecuación más simple, que tiene un término para los diferentes conjuntos de variables y potencias en la ecuación original. Esta nueva ecuación es equivalente a la ecuación original.
En nuestro ejemplo, nuestros términos simplificados son 6x y -2, por lo que nuestra nueva ecuación es 6x - 2. Esta simple ecuación es equivalente a la original (1 + 2x - 3 + 4x), pero más corta y más fácil de trabajar. También es más fácil de factorizar, que veremos a continuación, que es otra habilidad de simplificación importante.
Paso 5. Siga el orden de las operaciones al combinar términos semejantes
En ecuaciones muy simples como la que trabajamos en el problema de ejemplo anterior, identificar términos semejantes es fácil. Sin embargo, en ecuaciones más complejas, como las expresiones que incluyen términos entre paréntesis, fracciones y raíces, es posible que los términos similares que se pueden combinar no sean claramente visibles. En estos casos, siga el orden de las operaciones, realizando operaciones en los términos de su expresión según sea necesario hasta que permanezcan las operaciones de suma y resta.
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Por ejemplo, usemos la ecuación 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Sería incorrecto considerar inmediatamente 3x y 2x como términos semejantes y combinarlos porque los paréntesis en la expresión indican que primero tenemos que hacer otras operaciones. Primero, realizamos operaciones aritméticas en la expresión en el orden de las operaciones para obtener términos que podamos usar. Vea lo siguiente:
- 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
- 15 veces - 5 + x (x) + 8 - 3 veces
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Ahora, dado que las únicas operaciones restantes son la suma y la resta, podemos combinar términos semejantes.
- X2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- X2 + 12x + 3
Método 2 de 3: Factorización
Paso 1. Identifica el máximo factor común en la expresión
Factorizar es una forma de simplificar una expresión eliminando los factores que son iguales en todos los términos semejantes de la expresión. Para empezar, encuentre el máximo factor común que tienen todos los términos; en otras palabras, el número más grande que divide todos los términos en la expresión entera.
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Usemos la ecuación de 9x.2 + 27x - 3. Observa que cada término de esta ecuación es divisible por 3. Dado que los términos no son divisibles por ningún número mayor, podemos decir que
Paso 3. es nuestro mayor factor común.
Paso 2. Divide los términos de la expresión por el máximo común divisor
Luego, divide cada término en tu ecuación por el máximo factor común que acabas de encontrar. Los términos del cociente tendrán un coeficiente más pequeño que la ecuación original.
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Factoricemos nuestra ecuación por su máximo factor común, 3. Para hacer esto, dividiremos cada término por 3.
- 9 veces2/ 3 = 3 veces2
- 27 veces / 3 = 9 veces
- -3/3 = -1
- Por tanto, nuestra nueva expresión es 3 veces2 + 9x - 1.
Paso 3. Escribe tu expresión como el producto del máximo factor común multiplicado por los términos restantes
Su nueva expresión no es equivalente a su expresión original, por lo que sería incorrecto decir que la expresión se ha simplificado. Para que nuestra nueva expresión sea igual a la original, debemos incluir el hecho de que nuestra expresión ha sido dividida por el máximo factor común. Encierre su nueva expresión entre paréntesis y escriba el máximo factor común de la ecuación original como el coeficiente de expresión entre paréntesis.
Para nuestra ecuación de ejemplo, 3x2 + 9x - 1, podemos encerrar la expresión entre paréntesis y multiplicarla por el máximo factor común de la ecuación original para obtener 3 (3 veces2 + 9x - 1). Esta ecuación es equivalente a la ecuación original, 9x2 + 27x - 3.
Paso 4. Usa la factorización para simplificar fracciones
Es posible que ahora se esté preguntando por qué se usa la factorización, si incluso después de eliminar el máximo factor común, la nueva expresión debe multiplicarse nuevamente por ese factor. De hecho, la factorización permite a los matemáticos realizar varios trucos para simplificar expresiones. Uno de sus trucos más fáciles aprovecha el hecho de que multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número puede producir fracciones equivalentes. Vea lo siguiente:
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Di nuestra expresión de ejemplo inicial, 9x2 + 27x - 3, es el cuantificador de la fracción más grande con 3 como numerador. La fracción se verá así: (9x2 + 27x - 3) / 3. Podemos usar la factorización para simplificar fracciones.
- Sustituyamos la forma de factorización de nuestra expresión original por la expresión en el numerador: (3 (3x2 + 9x - 1)) / 3
- Observe que ahora, tanto el numerador como el denominador tienen un coeficiente de 3. Dividiendo el numerador y el denominador por 3, obtenemos: (3x2 + 9x - 1) / 1.
- Dado que cualquier fracción con un denominador de 1 es equivalente a los términos del numerador, podemos decir que nuestra fracción inicial se puede simplificar a 3 veces2 + 9x - 1.
Método 3 de 3: Aplicación de habilidades de simplificación adicionales
Paso 1. Simplifica fracciones dividiendo por los mismos factores
Como se señaló anteriormente, si el numerador y el denominador de una ecuación tienen los mismos factores, estos factores pueden omitirse por completo en la fracción. A veces, será necesario factorizar el numerador, el denominador o ambos (como es el caso en el problema de ejemplo anterior), mientras que a veces los mismos factores suelen ser obvios. Tenga en cuenta que también es posible dividir los términos del numerador por la ecuación en el denominador uno por uno para obtener una expresión simple.
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Trabajemos en un ejemplo que no requiera factorizar. Para fracciones (5x2 + 10x + 20) / 10, podemos dividir cada término en el numerador por 10 para simplificar, incluso si el coeficiente es 5 en 5x2 no es mayor que 10 y, por lo tanto, 10 no es un factor.
Si lo hacemos, obtendremos ((5x2) / 10) + x + 2. Si quisiéramos, podríamos reescribir el primer término como (1/2) x2 entonces obtenemos (1/2) x2 + x + 2.
Paso 2. Usa los factores al cuadrado para simplificar las raíces
La expresión debajo del signo de la raíz se llama expresión de la raíz. Esta expresión se puede simplificar identificando los factores al cuadrado (factores que son cuadrados de números enteros) y realizando la operación de raíz cuadrada por separado para eliminarlos de debajo del signo de raíz cuadrada.
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Hagamos un ejemplo simple: (90). Si pensamos en 90 como el producto de sus dos factores, 9 y 10, podemos sacar la raíz cuadrada de 9, que es el número entero 3, y eliminarlo del signo del radical. En otras palabras:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Paso 3. Suma exponentes al multiplicar dos exponentes; restar al dividir
Algunas expresiones algebraicas requieren multiplicar o dividir términos de potencia. En lugar de calcular o dividir cada exponente manualmente, simplemente suma los exponentes al multiplicar y restar al dividir para ahorrar tiempo. Este concepto también se puede utilizar para simplificar expresiones variables.
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Por ejemplo, usemos la expresión 6x3 × 8x4 + (x17/X15). En cualquier caso donde se requiera la multiplicación o división de exponentes, restaremos o sumaremos exponentes, respectivamente, para encontrar rápidamente el término simple. Vea lo siguiente:
- 6x3 × 8x4 + (x17/X15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48 veces7 + x2
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Para obtener una explicación de cómo funciona, consulte a continuación:
- Multiplicar términos en exponentes es en realidad como multiplicar términos no en exponentes largos. Por ejemplo, porque x3 = x × x × x y x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x8.
- Casi lo mismo, dividir exponentes es como dividir términos, no exponentes largos. X5/X3 = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Dado que cada término en el numerador se puede tachar al encontrar el mismo término en el denominador, solo quedan dos x en el numerador y nada en la parte inferior, lo que da la respuesta x2.
Consejos
- Recuerde siempre que debe imaginarse que estos números tienen signos positivos y negativos. Mucha gente se detiene a pensar ¿Qué señal debo poner aquí?
- ¡Pide ayuda si la necesitas!
- Simplificar expresiones algebraicas no es fácil, pero una vez que lo entiendas, lo usarás por el resto de tu vida.
Advertencia
- Siempre busque tribus similares y no se deje engañar por el rango.
- Asegúrese de no agregar números, poderes u operaciones que no deberían ser inadvertidamente.
