El determinante de matrices se usa a menudo en cálculo, álgebra lineal y geometría en un nivel superior. Fuera de la academia, los ingenieros gráficos por computadora y los programadores usan matrices y sus determinantes todo el tiempo. Si ya sabe cómo determinar el determinante de una matriz del orden de 2x2, solo necesita aprender cuándo usar la suma, la resta y los tiempos para determinar el determinante de una matriz de orden 3x3.
Paso
Parte 1 de 2: Determinación de los determinantes
Escribe tu matriz de orden de 3 x 3. Comenzaremos con una matriz A de orden 3x3 e intentaremos encontrar el determinante | A |. A continuación se muestra la forma general de notación matricial que usaremos y un ejemplo de nuestra matriz:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| METRO | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Paso 1. Seleccione una fila o columna
Haga su selección la fila o columna de referencia. Cualquiera que elija, obtendrá la misma respuesta. Seleccione temporalmente la primera fila. Le daremos algunas sugerencias para elegir la opción más fácil de calcular en la siguiente sección.
Seleccione la primera fila de la matriz de muestra A. Encierre en un círculo el número 1 5 3. En notación común, encierre en un círculo un11 a12 a13.
Paso 2. Tacha la fila y la columna de tu primer elemento
Mire la fila o columna que rodeó con un círculo y seleccione el primer elemento. Tacha las filas y columnas. Solo quedarán 4 números sin tocar. Convierta estos 4 números en una matriz de orden de 2 x 2.
- En nuestro ejemplo, nuestra fila de referencia es 1 5 3. El primer elemento está en la 1ª fila y la 1ª columna. Tacha toda la 1ª fila y la 1ª columna. Escribe los elementos restantes en una matriz de 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Paso 3. Determine el determinante de la matriz de orden 2 x 2
Recuerde, determine el determinante de la matriz [aC BD] por anuncio - bc. También puede haber aprendido a determinar el determinante de una matriz dibujando una X entre una matriz de 2 x 2. Multiplica los dos números conectados por la línea / de X. Luego, resta el número de veces que los dos números conectados por la línea / están. Utilice esta fórmula para calcular el determinante de una matriz de 2 x 2.
- En el ejemplo, el determinante de la matriz [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Este determinante se llama menor de los elementos que seleccionó en la matriz inicial. En este caso, acabamos de encontrar el menor de un11.
Paso 4. Multiplica el número encontrado por el elemento que seleccionaste
Recuerde, ha seleccionado elementos de la fila (o columna) de referencia cuando decidió qué filas y columnas tachar. Multiplica este elemento por el determinante de la matriz 2 x 2 que has encontrado.
En el ejemplo, elegimos un11 que es 1. Multiplica este número por -34 (el determinante de la matriz 2 x 2) para obtener 1 * -34 = - 34.
Paso 5. Determina el símbolo de tu respuesta
El siguiente paso es que debes multiplicar tu respuesta por 1 o -1 para obtener cofactor del elemento que seleccionaste. El símbolo que use depende de dónde estén los elementos en la matriz de 3 x 3. Recuerde, esta tabla de símbolos se usa para determinar el multiplicador de su elemento:
- + - +
- - + -
- + - +
- Porque elegimos un11 que está marcado con un +, multiplicaremos el número por +1 (o en otras palabras, no lo cambie). La respuesta que aparece será la misma, a saber - 34.
- Otra forma de definir un símbolo es usar la fórmula (-1) i + j donde i y j son elementos de fila y columna.
Paso 6. Repita este proceso para el segundo elemento en su fila o columna de referencia
Regrese a la matriz original de 3 x 3 que encerró en un círculo en la fila o columna anteriormente. Repite el mismo proceso con el elemento:
-
Tacha la fila y la columna del elemento.
En este caso, seleccione el elemento a12 (que vale 5). Tache la primera fila (1 5 3) y la segunda columna (5 4 6).
-
Convierte los elementos restantes en una matriz de 2x2.
En nuestro ejemplo, la matriz de orden 2x2 para el segundo elemento es [24 72].
-
Determine el determinante de esta matriz de 2x2.
Utilice la fórmula ad - bc. (2 * 2-7 * 4 = -24)
-
Multiplique por los elementos de su matriz de 3x3 elegida.
-24 * 5 = -120
-
Decide si multiplicar el resultado anterior por -1 o no.
Utilice una tabla de símbolos o fórmulas (-1)ij. Seleccionar elemento a12 simbolizado - en la tabla de símbolos. Reemplaza nuestro símbolo de respuesta con: (-1) * (- 120) = 120.
Paso 7. Repita el mismo proceso para el tercer elemento
Tienes un cofactor más para determinar el determinante. Cuente i para el tercer elemento en su fila o columna de referencia. Aquí hay una forma rápida de calcular el cofactor a13 en nuestro ejemplo:
- Tacha la primera fila y la tercera columna para obtener [24 46].
- El determinante es 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- Multiplicar por el elemento a13: -4 * 3 = -12.
- Elemento a13 símbolo + en la tabla de símbolos, por lo que la respuesta es - 12.
Paso 8. Sume los resultados de sus tres conteos
Este es el ultimo paso. Ha calculado tres cofactores, uno para cada elemento de una fila o columna. Sume esos resultados y encontrará el determinante de una matriz de 3 x 3.
En el ejemplo, el determinante de la matriz es - 34 + 120 + - 12 = 74.
Parte 2 de 2: Facilitar la resolución de problemas
Paso 1. Seleccione la fila o columna de referencias que tienen más ceros
Recuerde, puede seleccionar cualquier fila o columna que desee. Cualquiera que elija, la respuesta será la misma. Si seleccionas una fila o columna con el número 0, solo necesitas calcular el cofactor con elementos que no sean 0 porque:
- Por ejemplo, seleccione la segunda fila que tiene el elemento a21, a22, fondo23. Para resolver este problema, usaremos 3 matrices 2 x 2 diferentes, digamos A21, A22, Usted23.
- El determinante de la matriz 3x3 es un21| A21| - a22| A22| + un23| A23|.
- Si un22 fondo23 valor 0, la fórmula existente será un21| A21| - 0 * | A22| + 0 * | A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21|. Por lo tanto, solo calcularemos el cofactor de un solo elemento.
Paso 2. Utilice filas adicionales para facilitar los problemas de matrices
Si toma los valores de una fila y los agrega a otra fila, el determinante de la matriz no cambiará. Lo mismo ocurre con las columnas. Puede hacer esto repetidamente o multiplicar por una constante antes de sumarla para obtener tantos ceros en la matriz como sea posible. Esto puede ahorrar mucho tiempo.
- Por ejemplo, tiene una matriz con 3 filas: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Para eliminar el número 9 que está en posición a11, puede multiplicar el valor de la segunda fila por -3 y agregar el resultado a la primera fila. Ahora, la nueva primera línea es [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- La nueva matriz tiene filas [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Usa el mismo truco en columnas para hacer un12 sea el número 0.
Paso 3. Utilice el método rápido para matrices triangulares
En este caso especial, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal, de un11 en la parte superior izquierda a un33 en la parte inferior derecha de la matriz. Esta matriz sigue siendo una matriz de 3x3, pero la matriz de "triángulo" tiene un patrón especial de números que no son 0:
- Matriz triangular superior: todos los elementos que no son 0 están en la diagonal principal o por encima de ella. Todos los números debajo de la diagonal principal son 0.
- Matriz triangular inferior: todos los elementos que no son 0 están en o debajo de la diagonal principal.
- Matriz diagonal: Todos los elementos que no son 0 están en la diagonal principal (el subconjunto de los tipos de matrices anteriores).
Consejos
- Si todos los elementos de una fila o columna son 0, el determinante de la matriz es 0.
- Este método se puede utilizar para todos los tamaños de matrices cuadráticas. Por ejemplo, si utiliza este método para una matriz de orden 4x4, su "huelga" dejará una matriz de orden 3x3 cuyo determinante se puede determinar siguiendo los pasos anteriores. Recuerde, ¡hacer esto puede ser aburrido!
