3 formas de calcular la velocidad instantánea

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3 formas de calcular la velocidad instantánea
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Video: 3 formas de calcular la velocidad instantánea

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Anonim

La velocidad se define como la velocidad de un objeto en una determinada dirección. En muchas situaciones, para encontrar la velocidad, podemos usar la ecuación v = s / t, donde v es igual a la velocidad, s es igual a la distancia total que el objeto se ha movido desde su posición inicial y t es igual al tiempo. Sin embargo, este método solo da el valor de velocidad "promedio" del objeto sobre su desplazamiento. Con el cálculo, puede calcular la velocidad de un objeto en cualquier punto a lo largo de su desplazamiento. Este valor se llama "velocidad instantánea" y se puede calcular mediante la ecuación v = (ds) / (dt)o, en otras palabras, es la derivada de la ecuación para la velocidad promedio del objeto.

Paso

Método 1 de 3: cálculo de la velocidad instantánea

Calcular la velocidad instantánea Paso 1
Calcular la velocidad instantánea Paso 1

Paso 1. Comience con la ecuación para la velocidad de desplazamiento del objeto

Para obtener el valor de la velocidad instantánea de un objeto, primero debemos tener una ecuación que describa su posición (en términos de su desplazamiento) en un momento dado. Esto significa que la ecuación debe tener una variable s (que está solo) en un lado, y t por otro lado (pero no necesariamente independiente), así:

s = -1,5 t2+ 10t + 4

  • En la ecuación, las variables son:

    Desplazamiento = s. Esa es la distancia recorrida por el objeto desde su punto de partida. Por ejemplo, si un objeto viaja 10 metros hacia adelante y 7 metros hacia atrás, entonces la distancia total recorrida es 10 - 7 = 3 metros (no 10 + 7 = 17 metros).

    Tiempo = t. Esta variable se explica por sí misma. Normalmente se expresa en segundos. # Toma la derivada de la ecuación. La derivada de una ecuación es otra ecuación que puede dar el valor de la pendiente desde cierto punto. Para encontrar la derivada de la fórmula para el desplazamiento de un objeto, derive la función usando la siguiente regla general: Si y = a * x , Derivada = a * n * xn-1. Esta regla se aplica a cualquier componente que esté en el lado "t" de la ecuación.

    Calcular la velocidad instantánea Paso 2
    Calcular la velocidad instantánea Paso 2
  • En otras palabras, comience descendiendo el lado "t" de la ecuación de izquierda a derecha. Cada vez que alcance el valor "t", reste 1 del valor del exponente y multiplique el total por el exponente original. Cualquier constante (variable que no contenga "t") se perderá porque se multiplica por 0. Este proceso no es tan difícil como podría pensarse, derivemos la ecuación en el paso anterior como ejemplo:
  • s = -1,5 t2+ 10t + 4

    (2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0

    -3t1 + 10t0

    - 3t + 10

Calcular la velocidad instantánea Paso 3
Calcular la velocidad instantánea Paso 3

Paso 2. Reemplace la variable "s" por "ds / dt

"Para mostrar que su nueva ecuación es la derivada de la ecuación anterior, reemplace" s "por" ds / dt ". Técnicamente, esta notación significa" derivada de s con respecto a t ". Una forma más sencilla de entender esto es que ds / dt es el valor de la pendiente (pendiente) en cualquier punto de la primera ecuación, por ejemplo, para determinar la pendiente de una línea trazada a partir de la ecuación s = -1,5t2 + 10t + 4 en t = 5, podemos insertar el valor "5" en la ecuación derivada.

  • En el ejemplo utilizado, la primera ecuación derivada ahora se vería así:
  • ds / seg = -3t + 10

Calcular la velocidad instantánea Paso 4
Calcular la velocidad instantánea Paso 4

Paso 3. Inserte el valor de t en la nueva ecuación para obtener el valor de la velocidad instantánea

Ahora que tiene la ecuación derivada, es fácil encontrar la velocidad instantánea en cualquier punto. Todo lo que necesitas hacer es elegir un valor para t e insertarlo en tu ecuación derivada. Por ejemplo, si desea encontrar la velocidad instantánea en t = 5, puede reemplazar el valor de t con "5" en la ecuación derivada ds / dt = -3 + 10. Luego, resuelva la ecuación de la siguiente manera:

ds / seg = -3t + 10

ds / seg = -3 (5) + 10

ds / seg = -15 + 10 = - 5 metros / segundo

Tenga en cuenta que la unidad utilizada anteriormente es "metro / segundo". Debido a que lo que calculamos es el desplazamiento en metros y el tiempo en segundos (segundos) y la velocidad en general es el desplazamiento en un tiempo determinado, esta unidad es apropiada para usar

Método 2 de 3: Estimación gráfica de la velocidad instantánea

Calcular la velocidad instantánea Paso 5
Calcular la velocidad instantánea Paso 5

Paso 1. Dibuja una gráfica del desplazamiento del objeto a lo largo del tiempo

En la sección anterior, la derivada se menciona como la fórmula para encontrar la pendiente en un punto dado para la ecuación que está derivando. De hecho, si representa el desplazamiento de un objeto como una línea en un gráfico, "la pendiente de la línea en todos los puntos es igual al valor de su velocidad instantánea en ese punto".

  • Para describir el desplazamiento de un objeto, use x para representar el tiempo e y para representar el desplazamiento. Luego dibuje los puntos, insertando el valor de t en su ecuación, obteniendo así el valor de s para su gráfica, marque t, s en la gráfica como (x, y).
  • Tenga en cuenta que su gráfico puede extenderse por debajo del eje x. Si la línea que representa el movimiento de su objeto llega por debajo del eje x, significa que el objeto se ha movido hacia atrás desde su posición inicial. En general, su gráfica no llegará a la parte posterior del eje y, ¡porque no estamos midiendo la velocidad de un objeto que pasa!
Calcular la velocidad instantánea Paso 6
Calcular la velocidad instantánea Paso 6

Paso 2. Seleccione un punto adyacente P y Q en la línea

Para obtener la pendiente de la línea en un punto P, podemos usar un truco llamado "tomar el límite". Tomar el límite involucra dos puntos (P y Q, un punto cercano) en la línea curva y encontrar la pendiente de la línea conectándolos muchas veces hasta que las distancias P y Q se acerquen.

Digamos que la línea de desplazamiento del objeto contiene los valores (1, 3) y (4, 7). En este caso, si queremos encontrar la pendiente en el punto (1, 3), podemos determinar (1, 3) = P y (4, 7) = Q.

Calcular la velocidad instantánea Paso 7
Calcular la velocidad instantánea Paso 7

Paso 3. Encuentra la pendiente entre P y Q

La pendiente entre P y Q es la diferencia en los valores de y para P y Q a lo largo de la diferencia de valor del eje x para P y Q. En otras palabras, H = (yQ - yPAG)/(XQ - XPAG), donde H es la pendiente entre los dos puntos. En nuestro ejemplo, el valor de la pendiente entre P y Q es

H = (yQ- yPAG)/(XQ- XPAG)

H = (7 - 3) / (4 - 1)

H = (4) / (3) = 1.33

Calcular la velocidad instantánea Paso 8
Calcular la velocidad instantánea Paso 8

Paso 4. Repita varias veces, acercando Q a P

Tu objetivo es reducir la distancia entre P y Q para que parezca un punto. Cuanto más cercana sea la distancia entre P y Q, más cercana será la pendiente de la línea en el punto P. Haga esto varias veces con la ecuación usada como ejemplo, usando los puntos (2, 4.8), (1.5, 3.95) y (1.25, 3.49) como Q y el punto de partida (1, 3) como P:

Q = (2, 4.8):

H = (4,8 - 3) / (2 - 1)

H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5, 3,95):

H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)

H = (.95) / (. 5) = 1.9

Q = (1,25, 3,49):

H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)

H = (.49) / (. 25) = 1.96

Calcular la velocidad instantánea Paso 9
Calcular la velocidad instantánea Paso 9

Paso 5. Estima la pendiente de la línea para una distancia muy pequeña

A medida que Q se acerca a P, H se acerca cada vez más al valor de la pendiente del punto P. Finalmente, cuando alcanza un valor muy pequeño, H es igual a la pendiente de P. Dado que no podemos medir o calcular distancias muy pequeñas, solo podemos estimar la pendiente en P después de que esté clara desde el punto que estamos probando.

  • En el ejemplo, a medida que acercamos Q a P, obtenemos valores de 1.8, 1.9 y 1.96 para H. Dado que estos números están cerca de 2, podemos decir que 2 es la pendiente aproximada de P.
  • Recuerde que la pendiente en cualquier punto de la línea es igual a la derivada de la ecuación de la línea. Dado que la línea utilizada muestra el desplazamiento de un objeto en el tiempo, y como vimos en la sección anterior, la velocidad instantánea de un objeto es la derivada de su desplazamiento en un punto dado, también podemos afirmar que "2 metros / segundo "es el valor aproximado de la velocidad instantánea en t = 1.

Método 3 de 3: preguntas de muestra

Calcular la velocidad instantánea Paso 10
Calcular la velocidad instantánea Paso 10

Paso 1. Encuentre el valor de la velocidad instantánea en t = 4, a partir de la ecuación de desplazamiento s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.

Este problema es el mismo que el del ejemplo de la primera parte, excepto que esta ecuación es una ecuación cúbica, no una ecuación de potencia, por lo que podemos resolver este problema de la misma manera.

  • Primero, tomamos la derivada de la ecuación:
  • s = 5t3- 3t2+ 2t + 9

    s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1

    15t(2) - 6t(1) + 2t(0)

    15t(2) - 6t + 2

  • Luego, ingrese el valor de t (4):
  • s = 15t(2)- 6t + 2

    15(4)(2)- 6(4) + 2

    15(16) - 6(4) + 2

    240 - 24 + 2 = 22 metros / segundo

Calcular la velocidad instantánea Paso 11
Calcular la velocidad instantánea Paso 11

Paso 2. Use una estimación gráfica para encontrar la velocidad instantánea en (1, 3) para la ecuación de desplazamiento s = 4t2 - t.

Para este problema, usaremos (1, 3) como el punto P, pero tenemos que definir otro punto adyacente a ese punto como el punto Q. Entonces solo necesitamos determinar el valor de H y hacer una estimación.

  • Primero, encuentre el valor de Q primero en t = 2, 1.5, 1.1 y 1.01.
  • s = 4t2- t

    t = 2:

    s = 4 (2)2- (2)

    4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, entonces Q = (2, 14)

    t = 1,5:

    s = 4 (1,5)2 - (1.5)

    4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, entonces Q = (1,5, 7,5)

    t = 1,1:

    s = 4 (1,1)2 - (1.1)

    4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, entonces Q = (1,1; 3,74)

    t = 1.01:

    s = 4 (1.01)2 - (1.01)

    4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, entonces Q = (1.01, 3.0704)

  • Luego, determina el valor de H:
  • Q = (2, 14):

    H = (14 - 3) / (2 - 1)

    H = (11) / (1) =

    Paso 11.

    Q = (1,5, 7,5):

    H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)

    H = (4.5) / (. 5) =

    Paso 9.

    Q = (1,1, 3,74):

    H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)

    H = (.74) / (. 1) = 7.3

    Q = (1.01, 3.0704):

    H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)

    H = (.0704) / (. 01) = 7.04

  • Dado que el valor de H es muy cercano a 7, podemos afirmar que 7 metros / segundoes la velocidad instantánea aproximada en (1, 3).

Consejos

  • Para encontrar el valor de la aceleración (cambio de velocidad con el tiempo), use el método de la primera sección para obtener la ecuación de la derivada de la función de desplazamiento. Luego cree la ecuación derivada nuevamente, esta vez a partir de su ecuación derivada. Esto le dará la ecuación para encontrar la aceleración en un momento dado, todo lo que tiene que hacer es ingresar su valor de tiempo.
  • La ecuación que relaciona el valor de Y (desplazamiento) con X (tiempo) puede ser muy simple, por ejemplo, Y = 6x + 3. En este caso, el valor de la pendiente es constante y no es necesario encontrar la derivada para calcularlo., donde de acuerdo con la ecuación de una línea recta, Y = mx + b será igual a 6.
  • El desplazamiento es similar a la distancia, pero tiene una dirección, por lo que el desplazamiento es una cantidad vectorial, mientras que la distancia es una cantidad escalar. El valor de desplazamiento puede ser negativo, pero la distancia siempre será positiva.

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