Un pentágono es un polígono con cinco lados rectos. La mayoría de los problemas que encontrarás en la clase de matemáticas incluirán un pentágono regular con cinco lados iguales. Hay dos formas generales de encontrar la amplitud, según la cantidad de información que tenga.
Paso
Método 1 de 3: Encontrar el área de longitud lateral y apotema
Paso 1. Comience con las longitudes de los lados y la apotema
Este método se puede utilizar para pentágonos regulares con cinco lados iguales. Además de las longitudes de los lados, necesitará la "apotema" del pentágono. La apotema es una línea desde el centro del pentágono hasta uno de los lados que cruza el lado en un ángulo recto de 90º.
- No confunda la apotema y el radio, que toca uno de los vértices y no el punto medio. Si solo conoce la longitud del lado y el radio, omita este método y continúe con el método siguiente.
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Usaremos el ejemplo de un pentágono con longitud lateral
Paso 3. unidad y apotem
Paso 2. unidad.
Paso 2. Divide el pentágono en cinco triángulos
Dibuja cinco líneas desde el centro del pentágono, que conduzcan a cada vértice. Ahora tienes cinco triángulos.
Paso 3. Calcula el área de uno de los triángulos
Cada triángulo tiene pedestal que es igual al lado del pentágono. Cada triángulo también tiene alto que es igual a la apotema del pentágono. (Recuerde, la altura de un triángulo se extiende desde el vértice del triángulo hasta el lado opuesto, formando un ángulo recto). Para encontrar el área de cualquier triángulo, simplemente calcule x base x altura.
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En nuestro ejemplo, el área del triángulo = x 3 x 2 =
Paso 3. unidad al cuadrado.
Paso 4. Multiplica por cinco para encontrar el área total
Hemos dividido el pentágono en cinco triángulos iguales. Para encontrar el área total, simplemente multiplica el área de uno de los triángulos por cinco.
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En nuestro ejemplo, L (pentágono total) = 5 x L (triángulo) = 5 x 3 =
Paso 15. unidad al cuadrado.
Método 2 de 3: Encontrar el área a partir de la longitud del lado
Paso 1. Comience solo con las longitudes de los lados
Este método solo se aplica a pentágonos regulares que tienen cinco lados iguales.
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En este ejemplo, usaremos un pentágono con longitud lateral
Paso 7. unidad.
Paso 2. Divide el pentágono en cinco triángulos
Dibuja una línea desde el centro del pentágono hasta cualquier vértice. Repita esto para todos los puntos de las esquinas. Ahora tienes cinco triángulos, cada uno del mismo tamaño.
Paso 3. Divide el triángulo por la mitad
Dibuja una línea desde el centro del pentágono hasta la base de uno de los triángulos. Esta línea debe tocar la base en un ángulo recto de 90, dividiendo el triángulo en dos triángulos iguales más pequeños.
Paso 4. Nombra uno de los triángulos más pequeños
Ya podemos nombrar uno de los lados y uno de los ángulos del triángulo más pequeño:
- pedestal El triángulo tiene la longitud del lado del pentágono. En nuestro ejemplo, la longitud de la base es x 7 = 3,5 unidades.
- Grande esquina en el centro del pentágono es siempre 36º. (Comenzando en el centro de 360, puedes dividirlo en 10 de estos triángulos más pequeños. 360 10 = 36, por lo que el ángulo en uno de los triángulos es de 36º).
Paso 5. Calcula la altura del triángulo. Alto de este triángulo es el lado que es perpendicular (formando un ángulo recto) con el lado del pentágono, apuntando hacia el centro. Podemos usar trigonometría básica para encontrar la longitud de este lado:
- En un triángulo rectángulo, tangente de un ángulo es igual a la longitud del lado opuesto dividida por la longitud del lado adyacente.
- El lado opuesto al ángulo de 36º es la base del triángulo (la mitad del lado del pentágono). El lado adyacente al ángulo 36º es la altura del triángulo.
- tan (36º) = opuesto / adyacente
- En nuestro ejemplo, tan (36º) = 3,5 / altura
- altura x bronceado (36º) = 3, 5
- altura = 3,5 / bronceado (36º)
- altura = (aproximadamente) 4, 8 unidad.
Paso 6. Calcula el área del triángulo
El área de un triángulo es base x altura. (L = en). Ahora que conoce la altura, ingrese estos valores para encontrar el área de su pequeño triángulo.
En nuestro ejemplo, el área del triángulo pequeño = en = (3, 5) (4, 8) = 8, 4 unidades al cuadrado
Paso 7. Multiplica para encontrar el área del pentágono
Uno de estos triángulos más pequeños es 1/10 del área del pentágono. Para encontrar el área total, multiplica el área del triángulo más pequeño por 10.
En nuestro ejemplo, el área de todo el pentágono = 8, 4 x 10 = 84 unidad al cuadrado.
Método 3 de 3: Usar fórmulas
Paso 1. Utilice el perímetro y la apotema
La apotema es una línea desde el centro de un pentágono que toca un lado en ángulo recto. Si se le indica la duración de la apotema, puede utilizar esta sencilla fórmula.
- Área de un pentágono regular = ka / 2, donde k = perímetro y a = apotema.
- Si no conoce el perímetro, calcule el perímetro a partir de la longitud del lado: k = 5s, donde s es la longitud del lado.
Paso 2. Utilice las longitudes de los lados
Si solo conoce las longitudes de los lados, use la siguiente fórmula:
- Área del pentágono regular = (5 s 2) / (4tan (36º)), donde s = longitud del lado.
- bronceado (36º) = (5-2√5). Entonces, si su calculadora no tiene una función de bronceado, use la fórmula Área = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Paso 3. Elija una fórmula que use solo el radio
Incluso puedes encontrar el área si solo conoces el radio. Utilice esta fórmula:
Área del pentágono regular = (5/2) r 2sin (72º), donde r es el radio.
Consejos
- Los ejemplos que se dan aquí utilizan valores redondeados para facilitar el cálculo. Si mide el polígono real con las longitudes de los lados dadas, obtendrá resultados ligeramente diferentes para las otras longitudes y áreas.
- Si es posible, use el método geométrico y el método de fórmula, y compare los resultados para asegurarse de tener la respuesta correcta. Es posible que obtenga una respuesta ligeramente diferente si ingresa la fórmula de una vez (ya que no redondeará cuando esté haciendo el cálculo), pero la respuesta debería ser prácticamente la misma.
- Un pentágono irregular, o un pentágono con lados desiguales, es más difícil de aprender. El mejor enfoque suele ser dividir el pentágono en triángulos y sumar el área de cada triángulo. También es posible que deba dibujar la forma más grande alrededor del pentágono, calcular su área y restar el área de la parte exterior del pentágono.
- Las fórmulas se derivan de medias geométricas, casi las mismas que se describen aquí. Fíjate si puedes averiguar cómo obtener las fórmulas. La fórmula del radio es más difícil de derivar que las otras fórmulas (pista: necesitará una identidad de ángulo doble o doble).
