Las derivadas se pueden utilizar para derivar características útiles de un gráfico, como los valores máximo, mínimo, pico, valle y pendiente. ¡Incluso puede usarlo para graficar ecuaciones complejas sin una calculadora gráfica! Desafortunadamente, trabajar con derivados suele ser tedioso, pero este artículo te ayudará con algunos consejos y trucos.
Paso
Paso 1. Comprender la notación derivada
Las siguientes dos notaciones son las más utilizadas, aunque se pueden encontrar muchas otras aquí en Wikipedia.
- Notación de Leibniz Esta notación es la notación más comúnmente utilizada cuando la ecuación involucra y y x. dy / dx significa literalmente la derivada de y con respecto a x. Puede ser útil pensar en él como y / Δx para valores muy diferentes de x e y. Esta explicación conduce a la definición del límite derivado: limh-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. Cuando use esta notación para la segunda derivada, debe escribir: d2y / dx2.
- Notación de Lagrange La derivada de la función f también se escribe como f '(x). Esta notación dice f x acentuada. Esta notación es más corta que la notación de Leibniz y es útil cuando se ven las derivadas como funciones. Para formar un mayor grado de derivada, simplemente agregue 'af, por lo que la segunda derivada será f' '(x).
Paso 2. Comprender el significado de la derivada y las razones del descenso
Primero, para encontrar la pendiente de un gráfico lineal, se toman dos puntos en la línea y sus coordenadas se ingresan en la ecuación (y2 - y1)/(X2 - X1). Sin embargo, solo se puede utilizar para gráficos lineales. Para ecuaciones cuadráticas y superiores, la línea será una curva, por lo que encontrar la diferencia entre dos puntos no es muy preciso. Para encontrar la pendiente de la tangente en un gráfico de curva, se toman dos puntos y se colocan en la ecuación general para encontrar la pendiente del gráfico de curva: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx denota delta x, que es la diferencia entre dos coordenadas x en dos puntos del gráfico. Tenga en cuenta que esta ecuación es la misma que (y2 - y1)/(X2 - X1), solo en una forma diferente. Como se sabía que los resultados serían imprecisos, se aplicó un enfoque indirecto. Para encontrar la pendiente de la tangente en (x, f (x)), dx debe estar cerca de 0, de modo que los dos puntos dibujados se fusionen en un solo punto. Sin embargo, no puede dividir 0, por lo que una vez que haya ingresado los valores de dos puntos, tendrá que usar factorización y otros métodos para eliminar dx de la parte inferior de la ecuación. Una vez que hayas hecho eso, haz dx 0 y listo. Esta es la pendiente de la tangente en (x, f (x)). La derivada de una ecuación es la ecuación general para encontrar la pendiente de cualquier tangente en una gráfica. Esto puede parecer muy complicado, pero hay algunos ejemplos a continuación, que ayudarán a explicar cómo obtener la derivada.
Método 1 de 4: Derivados explícitos
Paso 1. Usa una derivada explícita si tu ecuación ya tiene y en un lado
Paso 2. Inserte la ecuación en la ecuación [f (x + dx) - f (x)] / dx
Por ejemplo, si la ecuación es y = x2, la derivada será [(x + dx)2 - X2] / dx.
Paso 3. Expanda y elimine dx para formar la ecuación [dx (2x + dx)] / dx
Ahora, puedes lanzar dos dx en la parte superior e inferior. El resultado es 2x + dx, y cuando dx se acerca a cero, la derivada es 2x. Esto significa que la pendiente de cualquier tangente del gráfico y = x2 es 2x. Simplemente ingrese el valor x para el punto para el que desea encontrar la pendiente.
Paso 4. Aprenda patrones para derivar ecuaciones similares
Aquí hay unos ejemplos.
- Cualquier exponente es la potencia multiplicada por el valor, elevado a la potencia menor que 1. Por ejemplo, la derivada de x5 es 5x4, y la derivada de x3, 5 iis3, 5x2, 5. Si ya hay un número delante de x, simplemente multiplícalo por la potencia. Por ejemplo, la derivada de 3x4 es 12x3.
- La derivada de cualquier constante es cero. Entonces, la derivada de 8 es 0.
- La derivada de la suma es la suma de las respectivas derivadas. Por ejemplo, la derivada de x3 + 3 veces2 es 3x2 + 6x.
- La derivada del producto es el primer factor multiplicado por la derivada del segundo factor más el segundo factor multiplicado por la derivada del primer factor. Por ejemplo, la derivada de x3(2x + 1) es x3(2) + (2x + 1) 3x2, que es igual a 8x3 + 3 veces2.
- La derivada del cociente (digamos, f / g) es [g (derivada de f) - f (derivada de g)] / g2. Por ejemplo, la derivada de (x2 + 2x - 21) / (x - 3) es (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
Método 2 de 4: Derivados implícitos
Paso 1. Use derivadas implícitas si su ecuación no se puede escribir con y en un lado
De hecho, si escribiera y en un lado, calcular dy / dx sería tedioso. Aquí tienes un ejemplo de cómo puedes resolver este tipo de ecuación.
Paso 2. En este ejemplo, x2años + 2 años3 = 3x + 2y, reemplace y con f (x), así recordará que y es en realidad una función.
La ecuación luego se convierte en x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Paso 3. Para encontrar la derivada de esta ecuación, derive ambos lados de la ecuación con respecto a x
La ecuación luego se convierte en x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Paso 4. Reemplaza f (x) con y nuevamente
Tenga cuidado de no sustituir f '(x), que es diferente de f (x).
Paso 5. Encuentre f '(x)
La respuesta para este ejemplo es (3 - 2xy) / (x2 + 6 años2 - 2).
Método 3 de 4: Derivadas de orden superior
Paso 1. Derivar una función de orden superior significa que está derivando la derivada (al orden 2)
Por ejemplo, si el problema le pide que derive de tercer orden, simplemente tome la derivada de la derivada de la derivada. Para algunas ecuaciones, la derivada de orden superior será 0.
Método 4 de 4: Regla de la cadena
Paso 1. Si y es una función diferencial de z, y z es una función diferencial de x, y es una función compuesta de x, y la derivada de y con respecto a x (dy / dx) es (dy / du) * (du / dx)
La regla de la cadena también puede ser una combinación de ecuaciones de potencia, como esta: (2x4 - X)3. Para encontrar la derivada, simplemente piense en ella como la regla de la multiplicación. Multiplica la ecuación por la potencia y redúcela por 1 elevado a la potencia. Luego, multiplica la ecuación por la derivada de la ecuación entre paréntesis que aumenta la potencia (en este caso, 2x ^ 4 - x). La respuesta a esta pregunta es 3 (2x4 - X)2(8x3 - 1).
Consejos
- Siempre que vea un problema difícil de resolver, no se preocupe. Solo trata de dividirlo en tantas partes más pequeñas como sea posible aplicando las reglas de multiplicación, cociente, etc. Luego, baje cada parte.
- Practica con la regla de la multiplicación, la regla del cociente, la regla de la cadena y, especialmente, las derivadas implícitas, porque estas reglas son mucho más difíciles en cálculo.
- Comprenda bien su calculadora; prueba las diferentes funciones de tu calculadora para aprender a usarlas. Es muy útil saber cómo usar tangentes y funciones derivadas en su calculadora si están disponibles.
- Recuerde las derivadas trigonométricas básicas y cómo usarlas.
