En los días previos a la invención de las calculadoras, los estudiantes y profesores tenían que calcular las raíces cuadradas manualmente. Se han desarrollado varias formas diferentes para superar este difícil proceso. Algunas formas dan una estimación aproximada y otras dan un valor exacto. Para aprender a encontrar la raíz cuadrada de un número usando solo operaciones simples, consulte el Paso 1 a continuación para comenzar.
Paso
Método 1 de 2: Uso de factorización prima
Paso 1. Divida su número en factores cuadrados perfectos
Este método usa los factores de un número para encontrar la raíz cuadrada del número (dependiendo del número, la respuesta puede ser un número exacto o una aproximación cercana). Los factores de un número son un conjunto de otros números que, cuando se multiplican, producen ese número. Por ejemplo, podrías decir que los factores de 8 son 2 y 4 porque 2 × 4 = 8. Mientras tanto, los cuadrados perfectos son números enteros que son el producto de otros números enteros. Por ejemplo, 25, 36 y 49 son cuadrados perfectos porque son 5, respectivamente.2, 62y 72. Como habrás adivinado, los factores de cuadrados perfectos son factores que también son cuadrados perfectos. Para comenzar a encontrar la raíz cuadrada a través de la factorización prima, primero intente simplificar su número a sus factores cuadrados perfectos.
- Usemos un ejemplo. Queremos encontrar la raíz cuadrada de 400 manualmente. Para empezar, dividiremos el número en sus factores cuadrados perfectos. Dado que 400 es un múltiplo de 100, sabemos que 400 es divisible por 25, un cuadrado perfecto. Con una división rápida de las sombras, encontramos que 400 dividido por 25 es igual a 16. Casualmente, 16 también es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, los factores del cuadrado perfecto de 400 son 25 y 16 porque 25 × 16 = 400.
- Podemos escribirlo como: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Paso 2. Encuentra la raíz cuadrada de tus factores cuadrados perfectos
La propiedad de multiplicación de la raíz cuadrada establece que para cualquier número ayb, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Debido a esta propiedad, ahora podemos encontrar la raíz cuadrada de nuestros factores cuadrados perfectos y multiplicarlos para obtener nuestra respuesta.
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En nuestro ejemplo, encontraremos las raíces cuadradas de 25 y 16. Vea a continuación:
- Raíz (25 × 16)
- Raíz (25) × Raíz (16)
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5 × 4 =
Paso 20.
Paso 3. Si su número no se puede factorizar perfectamente, simplifique su respuesta a su forma más simple
En la vida real, a menudo los números de los que necesitas encontrar la raíz cuadrada no son números enteros agradables con factores cuadrados perfectos obvios como 400. En estos casos, es posible que no podamos encontrar la respuesta correcta como un número entero. Sin embargo, al encontrar tantos factores cuadrados perfectos como pueda encontrar, puede encontrar la respuesta en forma de raíz cuadrada que es más pequeña, más simple y más fácil de calcular. Para hacer esto, reduzca su número a una combinación de factores cuadrados perfectos y factores cuadrados imperfectos, luego simplifique.
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Usemos la raíz cuadrada de 147 como ejemplo. 147 no es un producto de dos cuadrados perfectos, por lo que no podemos obtener el valor entero exacto como se indicó anteriormente. Sin embargo, 147 es el producto de un cuadrado perfecto y otro número: 49 y 3. Podemos usar esta información para escribir nuestra respuesta en su forma más simple de la siguiente manera:
- Raíz (147)
- = Raíz (49 × 3)
- = Cuadrado (49) × Cuadrado (3)
- = 7 × Raíz (3)
Paso 4. Si es necesario, calcule
Con su raíz cuadrada en su forma más simple, generalmente es bastante fácil obtener una estimación aproximada de la respuesta numérica adivinando el valor de la raíz cuadrada restante y multiplicándolo. Una forma de orientar su conjetura es buscar cuadrados perfectos que sean mayores y menores que el número en su raíz cuadrada. Notarás que el valor decimal del número en tu raíz cuadrada está entre los dos números, por lo que puedes adivinar el valor entre los dos números.
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Volvamos a nuestro ejemplo. porque 22 = 4 y 12 = 1, sabemos que la raíz (3) está entre 1 y 2, probablemente más cerca de 2 que de 1. Estimamos 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Si verificamos nuestra respuesta en la calculadora, podemos ver que nuestra respuesta está bastante cerca de la respuesta real, que es 12, 13.
Esto también se aplica a números más grandes. Por ejemplo, Root (35) se puede aproximar entre 5 y 6 (posiblemente más cerca de 6). 52 = 25 y 62 = 36. 35 está entre 25 y 36, por lo que la raíz cuadrada debe estar entre 5 y 6. Dado que 35 es solo uno menos que 36, podemos decir con confianza que la raíz cuadrada es un poco menor que 6. Verificar con una calculadora danos la respuesta es aproximadamente 5, 92 - tenemos razón.
Paso 5. Alternativamente, reduzca su número a los factores menos comunes como primer paso
Encontrar los factores de cuadrados perfectos no es necesario si puede determinar fácilmente los factores primos de un número (factores que también son números primos). Escribe tu número en términos de sus factores menos comunes. Luego, encuentra los pares de números primos que coincidan con tus factores. Cuando encuentre dos factores primos iguales, elimine estos dos números de la raíz cuadrada y coloque uno de estos números fuera de la raíz cuadrada.
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Por ejemplo, encuentre la raíz cuadrada de 45 usando este método. Sabemos que 45 × 5 y sabemos que por debajo de 9 = 3 × 3. Por lo tanto, podemos escribir nuestra raíz cuadrada en términos de factores como este: Sqrt (3 × 3 × 5). Simplemente elimine ambos 3 y coloque un 3 fuera de la raíz cuadrada para simplificar su raíz cuadrada a su forma más simple: (3) Raíz (5).
A partir de aquí, seremos fáciles de estimar.
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Como último problema de ejemplo, intentemos encontrar la raíz cuadrada de 88:
- Raíz (88)
- = Raíz (2 × 44)
- = Raíz (2 × 4 × 11)
- = Raíz (2 × 2 × 2 × 11). Tenemos unos 2 en nuestra raíz cuadrada. Dado que 2 es un número primo, podemos quitar un par de 2 y poner uno de ellos fuera de la raíz cuadrada.
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= Nuestra raíz cuadrada en su forma más simple es (2) Sqrt (2 × 11) o (2) Raíz (2) Raíz (11).
A partir de aquí, podemos estimar Sqrt (2) y Sqrt (11) y encontrar la respuesta aproximada que queramos.
Método 2 de 2: Encontrar la raíz cuadrada manualmente
Usando el algoritmo de división larga
Paso 1. Separe los dígitos de su número en pares
Este método utiliza un proceso similar a la división larga para encontrar la raíz cuadrada exacta dígito por dígito. Si bien no es obligatorio, puede que le resulte más fácil llevar a cabo este proceso si organiza visualmente su lugar de trabajo y sus números en partes fáciles de trabajar. Primero, dibuje una línea vertical que divida su área de trabajo en dos secciones, luego dibuje una línea horizontal más corta cerca de la parte superior derecha para dividir la sección derecha en una sección superior más pequeña y una sección inferior más grande. Luego, separe sus dígitos en pares, comenzando en el punto decimal. Por ejemplo, siguiendo esta regla, 79,520,789,182, 47897 se convierte en "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Escriba su número en la parte superior izquierda.
Por ejemplo, tratemos de calcular la raíz cuadrada de 780, 14. Dibuje dos líneas para dividir su lugar de trabajo como se muestra arriba y escriba "7 80. 14" en la esquina superior izquierda. No importa si el número más a la izquierda es un solo número y no un par de números. Escribirás tu respuesta (raíz cuadrada 780, 14) en la parte superior derecha
Paso 2. Encuentra el número entero más grande cuyo valor al cuadrado sea menor o igual al número (o par de números) en el extremo izquierdo
Comience en el extremo izquierdo de su número, tanto los pares de números como los números individuales. Encuentra el cuadrado perfecto más grande que sea menor o igual a este número, luego encuentra la raíz cuadrada de este cuadrado perfecto. Este número es n. Escribe n en la esquina superior derecha y escribe el cuadrado de n en el cuadrante inferior derecho.
En nuestro ejemplo, el extremo izquierdo es el número 7. Porque sabemos que 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, podemos decir que n = 2 porque 2 es el entero más grande cuyo valor al cuadrado es menor o igual a 7. Escriba 2 en el cuadrante superior derecho. Este es el primer dígito de nuestra respuesta. Escribe 4 (valor cuadrado de 2) en el cuadrante inferior derecho. Este número es importante para el siguiente paso.
Paso 3. Reste el número que acaba de calcular del par más a la izquierda
Al igual que con la división larga, el siguiente paso es restar el valor del cuadrado que acabamos de encontrar de la parte que acabamos de analizar. Escriba este número debajo de la primera parte y réstelo, escribiendo su respuesta debajo.
- En nuestro ejemplo, escribiremos 4 debajo de 7, luego lo restaremos. Esta resta da una respuesta
Paso 3..
Paso 4. Suelta el siguiente par
Baje la siguiente sección del número para el que está buscando la raíz cuadrada, junto al valor de resta que acaba de encontrar. Luego, multiplique el número en el cuadrante superior derecho por dos y escriba la respuesta en el cuadrante inferior derecho. Junto al número que acaba de escribir, deje un espacio para el problema de multiplicación que hará en el siguiente paso escribiendo '"_ × _ ="'.
En nuestro ejemplo, el siguiente par de nuestros números es "80". Escribe "80" junto al 3 en el cuadrante izquierdo. A continuación, multiplique el número de la esquina superior derecha por dos. Este número es 2, entonces 2 × 2 = 4. Escribe "'4"' en el cuadrante inferior derecho, seguido de _×_=.
Paso 5. Complete los espacios en blanco en el cuadrante derecho
Debe completar todos los espacios en blanco que acaba de escribir en el cuadrante derecho con el mismo número entero. Este número entero debe ser el número entero más grande que hace que el producto en el cuadrante derecho sea menor o igual que el número actualmente a la izquierda.
En nuestro ejemplo, llenamos los espacios en blanco con 8, lo que da como resultado 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Este valor es mayor que 384. Por lo tanto, 8 es demasiado grande, pero 7 podría funcionar. Escribe 7 en los espacios en blanco y resuelve: 4 (7) × 7 = 329. 7 es un número correcto porque 329 es menor que 380. Escribe 7 en el cuadrante superior derecho. Este es el segundo dígito de la raíz cuadrada de 780, 14
Paso 6. Reste el número que acaba de calcular del número que se encuentra ahora a la izquierda
Continúe con la cadena de resta usando el método de división larga. Tome el producto del problema en el cuadrante derecho y réstelo del número que está ahora a la izquierda, mientras escribe sus respuestas a continuación.
En nuestro ejemplo, restaremos 329 de 380, lo que da el resultado 51.
Paso 7. Repita el paso 4
Deriva la siguiente parte del número para el que estás buscando la raíz cuadrada. Cuando llegue al punto decimal en su número, escriba el punto decimal en su respuesta en el cuadrante superior derecho. Luego, multiplique el número en la parte superior derecha por 2 y escríbalo al lado del problema de multiplicación en blanco ("_ × _") como arriba.
En nuestro ejemplo, dado que ahora estamos tratando con el punto decimal en 780, 14, escriba el punto decimal después de nuestra respuesta actual en la esquina superior derecha. A continuación, baje el siguiente par (14) en el cuadrante izquierdo. El doble del número en la parte superior derecha (27) es igual a 54, así que escribe "54 _ × _ =" en el cuadrante inferior derecho
Paso 8. Repita los pasos 5 y 6
Encuentra el dígito más grande para completar los espacios en blanco a la derecha, lo que da una respuesta menor o igual que el número actualmente a la izquierda. Luego, resuelve el problema.
En nuestro ejemplo, 549 × 9 = 4941, que es menor o igual que el número de la izquierda (5114). 549 × 10 = 5490 es demasiado grande, así que 9 es tu respuesta. Escriba 9 como el siguiente dígito en el cuadrante superior derecho y reste el producto del número de la izquierda: 5114 menos 4941 es igual a 173
Paso 9. Para continuar contando los dígitos, baje el par de ceros de la izquierda y repita los pasos 4, 5 y 6
Para mayor precisión, continúe con este proceso para encontrar los cientos, miles y más lugares en su respuesta. Continúe usando este ciclo hasta que encuentre el lugar decimal que desea.
Entendiendo el proceso
Paso 1. Imagina el número del que calculaste la raíz cuadrada como el área S de un cuadrado
Dado que el área de un cuadrado es P2 donde P es la longitud de uno de los lados, entonces al tratar de encontrar la raíz cuadrada de su número, en realidad está tratando de calcular la longitud P de ese lado del cuadrado.
Paso 2. Determina las variables de letras para cada dígito de tu respuesta
Establezca la variable A como el primer dígito de P (la raíz cuadrada que estamos tratando de calcular). B será el segundo dígito, C el tercer dígito y así sucesivamente.
Paso 3. Determine las variables de letras para cada parte de su número inicial
Establecer variable Sa para el primer par de dígitos en S (su valor inicial), SB para el segundo par de dígitos, etc.
Paso 4. Comprenda la relación entre este método y la división larga
Este método de encontrar la raíz cuadrada es básicamente un problema de división larga que divide su número inicial por la raíz cuadrada, lo que le da la raíz cuadrada de la respuesta. Al igual que en el problema de la división larga, solo le interesa el siguiente dígito de cada paso. De esta manera, solo está interesado en los siguientes dos dígitos en cada paso (que es el siguiente dígito en cada paso para la raíz cuadrada).
Paso 5. Encuentra el número más grande cuyo valor al cuadrado sea menor o igual que Sa.
El primer dígito de A en nuestra respuesta es el entero más grande cuyo valor al cuadrado no exceda Sa (es decir, A de modo que A² Sa <(A + 1) ²). En nuestro ejemplo, Sa = 7 y 2² 7 <3², entonces A = 2.
Tenga en cuenta que, por ejemplo, si desea dividir 88962 entre 7 utilizando una división larga, los primeros pasos son prácticamente los mismos: verá el primer dígito de 88962 (que es 8) y está buscando el dígito más grande que, cuando se multiplica por 7, es menor o igual que 8 Básicamente, estás buscando d para que 7 × d 8 <7 × (d + 1). En este caso, d será igual a 1
Paso 6. Imagina el valor del cuadrado en cuya área estás a punto de comenzar a trabajar
Tu respuesta, la raíz cuadrada de tu número inicial, es P, que describe la longitud del cuadrado con área S (tu número inicial). Sus calificaciones para A, B, C, representan los dígitos en el valor de P. Otra forma de decir esto es 10A + B = P (para una respuesta de dos dígitos), 100A + 10B + C = P (para una respuesta de tres- respuesta de dígitos), etc.
En nuestro ejemplo, (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Recuerde que 10A + B representa nuestra respuesta, P, con B en la posición de las unidades y A en la posición de las decenas. Por ejemplo, con A = 1 y B = 2, entonces 10A + B es igual a 12. (10A + B) ² es el área total del cuadrado, mientras que 100A² es el área del cuadrado más grande en él, B² es el área del cuadrado más pequeño en él, y 10A × B es el área de los dos rectángulos restantes. Al hacer este proceso largo y complicado, encontramos el área total de un cuadrado sumando las áreas de los cuadrados y rectángulos en su interior.
Paso 7. Reste A² de Sa.
Disminuir un par de dígitos (SB) de S. Valor de Sa SB cerca del área total del cuadrado, que acaba de utilizar para restar el cuadrado interior más grande. El resto se puede considerar como el número N1, que obtuvimos en el paso 4 (N1 = 380 en nuestro ejemplo). N1 es igual a 2 & times: 10A × B + B² (área de los dos rectángulos más el área del cuadrado más pequeño).
Paso 8. Encuentre N1 = 2 × 10A × B + B², que también se escribe como N1 = (2 × 10A + B) × B
En nuestro ejemplo, ya conoce N1 (380) y A (2), por lo que debe encontrar B. Es muy probable que B no sea un número entero, por lo que realmente necesita encontrar el entero más grande B tal que (2 × 10A + B) × B N1. Entonces tienes: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Paso 9. Termina
Para resolver esta ecuación, multiplica A por 2, cambia el resultado a la posición de las decenas (el equivalente a multiplicar por 10), coloca B en la posición de las unidades y multiplica el número por B. En otras palabras, resuelve (2 × 10A + B) × B. Esto es exactamente lo que haces cuando escribes "N_ × _ =" (con N = 2 × A) en el cuadrante inferior derecho en el paso 4. En el paso 5, encuentras el entero B más grande que corresponde a el número debajo de él para que (2 × 10A + B) × B N1.
Paso 10. Reste el área (2 × 10A + B) × B del área total
Esta resta da como resultado el área S- (10A + B) ² que no se ha calculado (y que se utilizará para calcular el siguiente dígito de la misma manera).
Paso 11. Para calcular el siguiente dígito, C, repita el proceso
Baje el siguiente par (SC) de S para obtener N2 a la izquierda, y encuentre la C más grande para que tenga (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (equivalente a escribir dos veces el número de dos dígitos "AB" seguido de "_ × _ =". Encuentre el dígito coincidente más grande en los espacios en blanco, lo que da una respuesta menor o igual que N2, como antes.
Consejos
- Mover un punto decimal por un múltiplo de dos dígitos en un número (un múltiplo de 100), significa mover un punto decimal por un múltiplo de un dígito en su raíz cuadrada (un múltiplo de 10).
- En este ejemplo, 1,73 se puede considerar un "resto": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Este método se puede utilizar para cualquier base, no solo para la base 10 (decimal).
- Puede utilizar el cálculo que le resulte más conveniente. Algunas personas escriben el resultado sobre el número inicial.
- Una forma alternativa de usar fracciones repetidas es seguir esta fórmula: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 780, 14, el número entero cuyo valor al cuadrado es más cercano a 780, 14 es 28, entonces z = 780, 14, x = 28 e y = -3, 86. Ingresando valores y calculando estimaciones solo para x + y / (2x) da (en términos más simples) 78207/20800 o aproximadamente 27, 931 (1); próximo trimestre, 4374188/156607 o aproximadamente 27, 930986 (5). Cada término agrega aproximadamente 3 lugares decimales a la precisión del número anterior de lugares decimales.
