La división binaria se puede resolver utilizando el método de división larga, que es un método que puede enseñarle el proceso de división usted mismo, así como también a crear programas de computadora simples. Además, los métodos complementarios de sustracción iterativa pueden proporcionar enfoques con los que quizás no esté familiarizado, aunque no se usan comúnmente para la programación. Los lenguajes de máquina suelen utilizar algoritmos de aproximación para ser más eficientes, pero esto no se describe en este artículo.
Paso
Método 1 de 2: Usar división larga
Paso 1. Vuelva a aprender la división larga decimal
Si no ha utilizado la división larga en el sistema numérico decimal regular (base diez) durante mucho tiempo, vuelva a revisar los conceptos básicos utilizando el problema de ejemplo 172 dividido por 4. De lo contrario, omita este paso y vaya directamente al siguiente paso para explorar un proceso similar con números binarios.
- Numerador dividido por denominador, y el resultado es cociente.
- Compara el denominador con el primer número del numerador. Si el denominador es más grande, continúe agregando números al numerador hasta que el denominador sea más pequeño. (Por ejemplo, si calculamos 172 dividido entre 4, comparamos 4 con 1, sabemos que 4 es mayor que 1, así que proceda a comparar 4 con 17.)
- Escribe el primer dígito del cociente sobre el último numerador utilizado en la comparación. Cuando comparamos 4 con 17, vemos que 4 está cubierto por 17 cuatro veces, por lo que escribimos 4 como el primer número del cociente, por encima de 7.
- Multiplica y resta para obtener el resto. Multiplica el cociente por el denominador, lo que significa 4 × 4 = 16. Escribe 16 debajo de 17, luego resta 17 por 16 para obtener el resto, que es 1.
- Repite el proceso. Nuevamente comparamos el denominador, que es 4, con el siguiente número, que es 1, observe que 4 es mayor que 1, luego "restamos" el siguiente número del numerador, continuamos comparando 4 con 12. Vemos que 4 está cubierto por 12 tres veces sin resto, por lo que escribimos 3 como el siguiente número del cociente. La respuesta es 43.
Paso 2. Prepare un problema de división larga en binario
Tomemos 10101 11. Escriba como un problema de división larga, usando 10101 como numerador y 11 como denominador. Deje un espacio encima como un lugar para escribir el cociente y debajo como un lugar para escribir los cálculos.
Paso 3. Compara el denominador con el primer dígito del numerador
Funciona de la misma manera que la división larga en decimal, pero en realidad es mucho más fácil en el sistema numérico binario. En binario solo hay dos opciones, o no puedes dividir el número por el denominador (que significa 0) o el denominador solo se incluye una vez (que significa 1):
11> 1, por lo que 11 no está "cubierto por" 1. Escriba el número 0 como el primer número del cociente (encima del primer dígito del numerador)
Paso 4. Trabaja en el siguiente número y repite hasta que obtengas el número 1
Los siguientes son los siguientes pasos en nuestro ejemplo:
- Deriva el siguiente número del numerador. 11> 10. Escribe 0 en el cociente.
- Baja el siguiente número. 11 <101. Escribe el número 1 en el cociente.
Paso 5. Encuentra el resto de la división
Al igual que con los decimales de división larga, multiplica el número que obtuvimos (1) por el denominador (11), luego escribe el resultado debajo del numerador paralelo al número que acabamos de calcular. En el sistema numérico binario, podemos resumir este proceso, porque 1 x el denominador es siempre el mismo que el denominador:
- Escribe el denominador debajo del numerador. Aquí, escriba 11 en paralelo a los primeros tres dígitos del numerador (101).
- Cuente 101-11 para obtener el resto de la división, que es 10. Vea cómo restar números binarios si necesita volver a aprender.
Paso 6. Repita hasta que se resuelva el problema
Disminuye el siguiente número del denominador al resto de la división para obtener 100. Dado que 11 <100, escribe 1 como el siguiente número en la división. Continúe el cálculo como antes:
- Escriba 11 debajo de 100 y luego reste para obtener 1.
- Baja el último dígito del numerador a 11.
- 11 = 11, entonces escribe 1 como el último dígito del cociente (respuesta).
- Como no queda resto, el cálculo está completo. La respuesta es 00111, o 111 solamente.
Paso 7. Agregue puntos de base si es necesario
A veces, el resultado de un cálculo no es un número entero. Si aún le queda división después de usar el último dígito, agregue ".0" al numerador y "." al cociente, por lo que aún puede derivar un número más y continuar con el cálculo. Repita hasta alcanzar la precisión deseada, luego redondee el resultado. En papel, puede redondear hacia abajo quitando el último 0, o si el último es un 1, descartarlo y agregar el último número más reciente a 1. En programación, siga uno de varios algoritmos de redondeo estándar para evitar errores al convertir números binarios a decimal y viceversa.
- La división binaria a menudo da como resultado partes fraccionarias repetidas, más a menudo que el mismo proceso en el sistema decimal.
- Esto se denomina más comúnmente "punto de base", que se aplica a cualquier base, porque el término "punto decimal" se aplica sólo en el sistema decimal.
Método 2 de 2: Usar el método complementario
Paso 1. Comprender el concepto básico
Una forma de resolver el problema de la división, sobre cualquier base, es seguir restando el denominador del numerador, luego el resto, contando cuántas veces se puede repetir este proceso antes de obtener un número negativo. El siguiente ejemplo es un cálculo en base diez, calculando 26 7:
- 26 - 7 = 19 (restar 1 vez)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5-7 = -2. Números negativos, así que da un paso atrás. El resultado es 3 y el resto se divide por 5. Tenga en cuenta que este método no calcula la parte fraccionaria de la respuesta.
Paso 2. Aprenda a restar con complementos
Si bien puede usar el método anterior en un sistema binario fácilmente, también podemos reducir el uso de un método más eficiente, lo que ahorra tiempo al programar la computadora para realizar la división binaria. Esta es la resta con el método del complemento en binario. Aquí están los conceptos básicos, el cálculo de 111 - 011 (asegúrese de que los dos números tengan la misma longitud):
- Encuentre el complemento a uno para el segundo número, restando cada dígito de 1. Este paso es fácil de hacer en el sistema binario cambiando cada 1 a 0 y cada 0 a 1. En este ejemplo, 011 a 100.
- Suma 1 al resultado del cálculo: 100 + 1 = 101. Este número se llama complemento a dos, por lo que la resta se puede resolver como una suma. En esencia, el resultado de este cálculo es como si sumamos números negativos y no restemos números positivos, una vez que se completa este proceso.
- Suma el resultado al primer número. Escribe y resuelve el problema de suma: 111 + 101 = 1100.
- Quite más números. Elimine el primer número del resultado del cálculo para obtener el resultado final. 1100 → 100.
Paso 3. Combine los dos conceptos descritos anteriormente
Ahora conoces el método de resta para resolver problemas de división, así como el método del complemento a dos para resolver problemas de resta. Siguiendo los pasos a continuación, puede combinar los dos en un método para resolver el problema de división. Si lo desea, intente resolverlo usted mismo antes de continuar.
Paso 4. Reste el denominador del numerador, sumando el complemento a dos
Trabajemos en el problema 100011 000101. El primer paso es resolver 100011 - 000101, usando el método del complemento a dos para convertir este cálculo en una suma:
- Complemento a dos de 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Eliminar números sobrantes → 011110
Paso 5. Suma 1 al resultado de la división
En un programa de computadora, aquí es donde se agrega 1 al cociente. En papel, tome notas en las esquinas para que no se mezclen con otros trabajos. Logramos restar una vez, por lo que el resultado de la división hasta ahora es 1.
Paso 6. Repita el proceso restando el denominador del resto del cálculo
El resultado de nuestro último cálculo es el resto de la división después de que el denominador se "cubra" una vez. Sigue agregando el complemento a dos del denominador en cada repetición y eliminando dígitos adicionales. Agregue 1 al cociente en cada iteración, repitiendo hasta que obtenga el resto del cálculo igual o menor que el denominador:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (cociente 1 + 1 = 10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (cociente 10 + 1 = 11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 es menor que 101, así que nos detenemos aquí. La respuesta a este proceso de división es 111. Mientras que el resto de la división es el resultado final del proceso de resta, en este caso 0 (sin resto).
Consejos
- Las instrucciones para subir (sumar 1), bajar (restar 1) o eliminar de la pila (pila emergente) deben considerarse antes de aplicar matemáticas binarias en un conjunto de instrucciones de máquina.
- El método del complemento a dos para la resta no funcionará si los números tienen un número diferente de dígitos. Para solucionar este problema, agregue un cero al comienzo del número para un número más pequeño.
- Ignore los números negativos en números binarios negativos antes de calcular, excepto para determinar si la respuesta es positiva o negativa.
