El teorema de Pitágoras describe las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo de una manera elegante y práctica, por lo que este teorema todavía se usa ampliamente en la actualidad. Este teorema establece que para cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los lados sin ángulos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En otras palabras, para un triángulo rectángulo con lados perpendiculares ayb e hipotenusa c, a2 + b2 = c2.
El teorema de Pitágoras es uno de los pilares básicos de la geometría elemental. Existen innumerables aplicaciones que utilizan este teorema, por ejemplo, para facilitar la búsqueda de la distancia entre dos puntos en un plano de coordenadas.
Paso
Método 1 de 2: Encontrar los lados de un triángulo rectángulo
Paso 1. Asegúrate de que tu triángulo sea un triángulo rectángulo
El teorema de Pitágoras solo se aplica a los triángulos rectángulos, por lo que, antes de continuar, es muy importante asegurarse de que sus triángulos se ajusten a las propiedades de los triángulos rectángulos. Afortunadamente, hay un factor que puede indicar que su triángulo es un triángulo rectángulo. Tu triángulo debe tener un ángulo de 90 grados.
Como señal, los triángulos rectángulos a menudo se marcan con pequeños cuadrados para marcar ángulos de 90 grados, sin usar "curvas" curvas. Busque esta marca en particular en la esquina de su triángulo
Paso 2. Da las variables a, byc para los lados de tu triángulo
En el Teorema de Pitágoras, las variables ayb representan los lados que se encuentran en el triángulo rectángulo, mientras que la variable c representa la hipotenusa, el lado largo opuesto al ángulo recto. Entonces, para empezar, marca los lados cortos de tu triángulo con las variables ayb (no importa si las intercambias), y marca la hipotenusa con la variable c.
Paso 3. Decide qué lado del triángulo quieres resolver
El teorema de Pitágoras permite a los matemáticos encontrar la longitud de cualquier lado de un triángulo rectángulo siempre que conozcan las longitudes de los otros dos lados. Determine qué lado es desconocido: a, by / o c. Si se desconoce la longitud de uno de sus lados, está listo para seguir adelante.
- Por ejemplo, sabemos que la longitud de la hipotenusa de un triángulo es 5 y la longitud de uno de los otros lados es 3, pero no estamos seguros de la longitud del tercer lado. En este caso, sabemos que estamos buscando la longitud del tercer lado, y como conocemos las longitudes de los otros dos, ¡podemos resolverlo! Trabajaremos en este problema con los siguientes pasos.
- Si no conoce las longitudes de dos lados, debe conocer uno de los lados para poder usar el Teorema de Pitágoras. Las funciones trigonométricas básicas pueden ayudarlo si conoce un lado de un triángulo que no está inclinado.
Paso 4. Inserte los valores de dos lados que ya conoce en la ecuación
Reemplaza las longitudes de los lados de tu triángulo en la ecuación a2 + b2 = c2. Recuerda que ayb son lados no inclinados, mientras que c es la hipotenusa.
En nuestro ejemplo, conocemos la longitud de uno de los lados y la hipotenusa (3 y 5), por lo que la ecuación se convierte en 3² + b² = 5²
Paso 5. Cuadrar
Para resolver su ecuación, comience elevando al cuadrado los lados conocidos. Alternativamente, si le resulta más fácil, puede dejar las longitudes de sus lados al cuadrado y luego al cuadrado.
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En nuestro ejemplo, elevaremos al cuadrado 3 y 5 para que obtengamos
Paso 9. da
Paso 25.. Podemos escribir la ecuación como 9 + b² = 25.
Paso 6. Mueva la variable desconocida al otro lado de la ecuación
Si es necesario, use operaciones algebraicas básicas para hacer que la variable desconocida se mueva al otro lado de la ecuación y el cuadrado de las otras dos variables al otro lado. Si desea encontrar la longitud de la hipotenusa, c ya está en el otro lado de la ecuación, por lo que no tiene que hacer nada para moverla.
En nuestro ejemplo, la ecuación actual es 9 + b² = 25. Para mover b², reste ambos lados de la ecuación por 9, por lo que el resultado es b² = 16
Paso 7. Raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación
Ahora solo una variable se eleva al cuadrado en un lado y un número en el otro. Raíz cuadrada de ambos lados para encontrar la longitud del lado desconocido.
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En nuestro ejemplo, b² = 16, tomando la raíz cuadrada de ambos lados da b = 4. Por lo tanto, podemos decir que la longitud del lado desconocido del triángulo es
Paso 4..
Paso 8. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar los lados de un triángulo rectángulo verdadero
La razón por la que el Teorema de Pitágoras se usa ampliamente en la actualidad es que se puede aplicar a innumerables situaciones prácticas. Aprenda a conocer los triángulos rectángulos en la vida real: en cualquier situación en la que dos objetos o líneas rectas se encuentren en un ángulo recto y el tercer objeto o línea una los dos objetos o líneas en diagonal, entonces puede usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado el otro, si se conocen las longitudes de los otros dos lados.
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Probemos con un ejemplo real que es un poco más difícil. Una escalera se apoya en un edificio. La distancia desde la parte inferior de las escaleras hasta la pared es de 5 metros. La altura de las escaleras alcanza los 20 metros. ¿Cuánto mide la escalera?
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5 metros de la pared y 20 metros de altura nos indican las longitudes de los lados del triángulo. Dado que la pared y el suelo (asumido) forman un ángulo recto y la escalera está apoyada diagonalmente contra la pared, esta disposición se puede considerar un triángulo rectángulo con longitudes de lado a = 5 yb = 20. La longitud de la escalera es la hipotenusa, por lo que el valor de c no se conoce. Usemos el Teorema de Pitágoras:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- raíz (425) = c
- c = 20,6. La longitud aproximada de la escalera es 20,6 metros.
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Método 2 de 2: Calcular la distancia entre dos puntos en el plano X-Y
Paso 1. Encuentra dos puntos en el plano X-Y
El teorema de Pitágoras se puede utilizar fácilmente para calcular la distancia en línea recta entre dos puntos en el plano X-Y. Todo lo que necesita saber son las coordenadas xey de los dos puntos. Por lo general, estas coordenadas se escriben juntas en la forma (x, y).
Para encontrar la distancia entre estos dos puntos, consideraremos cada punto como uno de los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo. Si lo hace, será más fácil encontrar las longitudes de los lados ayb, y luego calcular la hipotenusa c, que es la distancia entre los dos puntos
Paso 2. Dibuja tus dos puntos en la imagen
En un plano regular X-Y, cada punto (x, y), x representa una coordenada horizontal e y representa una coordenada vertical. Puede encontrar la distancia entre los dos puntos sin dibujarla, pero al hacerlo obtendrá una imagen visual que puede usar para ver si su respuesta es correcta.
Paso 3. Calcula la longitud del lado no inclinado de tu triángulo
Usando los dos puntos como los ángulos del triángulo adyacente a la hipotenusa, encuentra las longitudes de los lados ayb del triángulo. Puedes hacer esto usando una imagen o usando la fórmula | x1 - X2| para el lado horizontal y | y1 - y2| para el lado vertical, con (x1, y1) como primer punto y (x2, y2) como segundo punto.
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Sean nuestros dos puntos (6, 1) y (3, 5). La longitud del lado horizontal de nuestro triángulo es:
- | x1 - X2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Paso 3.
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La longitud del lado vertical es:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Paso 4.
- Entonces, en nuestro triángulo rectángulo, el lado a = 3 y el lado b = 4.
Paso 4. Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa
La distancia entre dos puntos es la longitud de la hipotenusa del triángulo cuyos dos lados acabas de encontrar. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa, donde a es la longitud del primer lado y b es la longitud del segundo lado.
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En nuestro ejemplo, estamos usando los puntos (3, 5) y (6, 1) cuyas longitudes de lado son 3 y 4, por lo que podemos encontrar la hipotenusa de la siguiente manera:
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- (3) ² + (4) ² = c²
- c = raíz (9 + 16)
- c = raíz (25)
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c = 5. La distancia entre (3, 5) y (6, 1) es
Paso 5..
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Consejos
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La hipotenusa es siempre:
- opuesto al ángulo recto (sin tocar el ángulo recto)
- lado más largo en un triángulo rectángulo
- llamado c en el teorema de Pitágoras
- root (x) significa la raíz cuadrada de x.
- Recuerde comprobar siempre sus respuestas. Si su respuesta parece incorrecta, vuelva a intentarlo y vuelva a intentarlo.
- Si el triángulo no es un triángulo rectángulo, necesita información adicional, no solo las longitudes de los otros dos lados.
- Otra forma de verificar: el lado más largo está opuesto al ángulo más grande y el lado más corto está opuesto al ángulo más pequeño.
- Las cifras son la clave para escribir los valores correctos de a, by c. Si está trabajando en un problema de historia, asegúrese de escribir primero el problema en forma de imagen.
- Si solo conoce la longitud de un lado, el Teorema de Pitágoras no funciona. Intente usar trigonometría (sin, cos, tan) o proporciones 30-60-90 / 45-45-90.
